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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für jede Primzahl p>3 gilt:
[mm] 12|(p^{2}-1) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme hier nicht weiter. Zuerst habe ich gefolgert, dass wenn [mm] 12|(p^{2}-1) [/mm] das gleich ist, wie [mm] 2|(p^{2}-1) [/mm] und [mm] 6|(p^{2}-1).
[/mm]
Dass [mm] 2|(p^{2}-1) [/mm] folgt daraus, dass
1. alle Primzahlen größer 3 ungerade sind
2. das Produkt zweier ungeraden Zahlen ungerade ist
3. eine ungerade Zahl minus eins eine gerade zahl ergibt.
Nur wie zeige ich jetzt, dass [mm] 6|(p^{2}-1)? [/mm] Oder kann ich den Beweis leichter führen?
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Hallo
> Zeigen Sie: Für jede Primzahl p>3 gilt:
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> [mm]12|(p^{2}-1)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich komme hier nicht weiter. Zuerst habe ich gefolgert,
> dass wenn [mm]12|(p^{2}-1)[/mm] das gleich ist, wie [mm]2|(p^{2}-1)[/mm] und
> [mm]6|(p^{2}-1).[/mm]
> Dass [mm]2|(p^{2}-1)[/mm] folgt daraus, dass
> 1. alle Primzahlen größer 3 ungerade sind
> 2. das Produkt zweier ungeraden Zahlen ungerade ist
> 3. eine ungerade Zahl minus eins eine gerade zahl ergibt.
Naja, versuche doch mal aus den Informationen etwas herauszubekommen: Eine ungerade Zahl kannst du ja immer schreiben in der Form 2n+1, wobei n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 2.
Setzen wir das doch mal ein: [mm] (2n+1)^2 [/mm] -1= [mm] 4n^2 [/mm] +4n +1 -1 = [mm] 4(n^2 [/mm] +n).
Daraus folgt schon mal, dass die Geschichte durch 4 teilbar ist.
Wenn du nun noch zeigst, dass das Ganze auch durch 3 teilbar ist, bist du fertig.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
Eine ungerade Zahl kannst du ja immer
> schreiben in der Form 2n+1, wobei n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 2.
Aber weil p eine Primzahl ist und nicht irgendeine ungerade Zahl ist das falsch, oder nicht?
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Hallo,
> Eine ungerade Zahl kannst du ja immer
> > schreiben in der Form 2n+1, wobei n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 2.
> Aber weil p eine Primzahl ist und nicht irgendeine
> ungerade Zahl ist das falsch, oder nicht?
Wieso das? Kennst du irgendeine Primzahl $p>3$, die gerade ist?
Nein, natürlich nicht, die Voraussetzung $p>3$ bedeutet, dass $p$ ungerade sein muss und garantiert dir darüber hinaus doch eine Darstellung von $p$ als $p=2n+1$ mit [mm] $n\ge [/mm] 2$
Bleibt die Teilbarkeit durch 3 nachzuweisen, wenn ich das richtig sehe ...
Bedenke dazu, dass [mm] $p^2-1=(p-1)\cdot{}(p+1)$ [/mm] und dass wegen $p>3$ gilt: [mm] $3\not| [/mm] \ p$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
> > Eine ungerade Zahl kannst du ja immer
> > > schreiben in der Form 2n+1, wobei n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 2.
> > Aber weil p eine Primzahl ist und nicht irgendeine
> > ungerade Zahl ist das falsch, oder nicht?
>
> Wieso das? Kennst du irgendeine Primzahl [mm]p>3[/mm], die gerade
> ist?
>
> Nein, natürlich nicht, die Voraussetzung [mm]p>3[/mm] bedeutet,
> dass [mm]p[/mm] ungerade sein muss und garantiert dir darüber
> hinaus doch eine Darstellung von [mm]p[/mm] als [mm]p=2n+1[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm]
Aber wenn ich [mm]p=2n+1[/mm] setzte, dann heißt das, dass ich alle ungeraden Zahlen betrachte und nicht NUR die Primzahlen. Da mache ich doch zu viel !?
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Hallo nochmal,
> > > Eine ungerade Zahl kannst du ja immer
> > > > schreiben in der Form 2n+1, wobei n [mm]\in \IN[/mm] und n [mm]\ge[/mm] 2.
> > > Aber weil p eine Primzahl ist und nicht irgendeine
> > > ungerade Zahl ist das falsch, oder nicht?
> >
> > Wieso das? Kennst du irgendeine Primzahl [mm]p>3[/mm], die gerade
> > ist?
> >
> > Nein, natürlich nicht, die Voraussetzung [mm]p>3[/mm] bedeutet,
> > dass [mm]p[/mm] ungerade sein muss und garantiert dir darüber
> > hinaus doch eine Darstellung von [mm]p[/mm] als [mm]p=2n+1[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm]
>
> Aber wenn ich [mm]p=2n+1[/mm] setzte, dann heißt das, dass ich alle
> ungeraden Zahlen betrachte und nicht NUR die Primzahlen. Da
> mache ich doch zu viel !?
Nein, du "setzt" $p$ ja nicht ...
Du gibst dir vielmehr eine beliebige (aber dann feste Primzahl) $p>3$ vor.
Diese muss ungerade sein.
Daher existiert ein [mm] $n\in\IN, n\ge [/mm] 2$ mit $p=2n+1$
Dein $p$ ist eine ungerade Zahl, die du auf diese Weise darstellen kannst, das heißt doch noch lange nicht, dass du alle ungeraden Zahlen betrachtest.
Obwohl die Aussage [mm] $4\mid p^2-1$ [/mm] auch für jede ungerade Zahl $p$ gilt, auch für Nicht-Primzahlen, aber die brauchst du nicht.
Beim Beweis der Teilbarkeit durch 3 benötigst du nämlich die Tatsache, dass $p$ prim ist.
Nimm mal $p=15$, dann ist [mm] $p^2-1=224$, [/mm] und das ist nicht durch 3 teilbar ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
Dankeschön,
ich glaube ich habs jetzt verstanden.
Zu der Teilbarkeit durch 3 habe ich jetzt folgendes:
Weil [mm] (p^{2}-1)=(p-1)(p+1) [/mm] und p nicht durch 3 teilbar,
ist entweder p-1 oder p+1 durch 3 teilbar,
weil jede dritte Zahl durch 3 teilbar ist.
Ist das soweit richtig?
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> Zeigen Sie: Für jede Primzahl p>3 gilt:
>
> [mm]12|(p^{2}-1)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich komme hier nicht weiter. Zuerst habe ich gefolgert,
> dass wenn [mm]12|(p^{2}-1)[/mm] das gleich ist, wie [mm]2|(p^{2}-1)[/mm] und
> [mm]6|(p^{2}-1).[/mm]
Vorsicht: so stimmt diese Folgerung nicht.
Aus 2|n und 6|n darf man nicht schließen, dass 12|n gilt.
Nimm dazu z.B. n=30 .
Aber: wenn du zeigen kannst, dass 3|n und 4|n, dann
kannst du auf 12|n schließen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 15.10.2009 | | Autor: | bolzen |
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> Vorsicht: so stimmt diese Folgerung nicht.
>
> Aus 2|n und 6|n darf man nicht schließen, dass 12|n gilt.
> Nimm dazu z.B. n=30 .
>
Ich meinte damit dass sowohl 2|n, als auch 6|n gelten muss.
Das darf ich doch, oder nicht?
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> > Vorsicht: so stimmt diese Folgerung nicht.
> >
> > Aus 2|n und 6|n darf man nicht schließen, dass 12|n gilt.
> > Nimm dazu z.B. n=30 .
> >
>
> Ich meinte damit dass sowohl 2|n, als auch 6|n gelten
> muss.
> Das darf ich doch, oder nicht?
Falls 12|n , gilt natürlich sowohl 2|n als auch 6|n.
Hier musst du aber beweisen, dass [mm] 12|(p^2-1) [/mm] .
Dazu reicht es nicht aus zu zeigen, dass [mm] 2|(p^2-1)
[/mm]
und [mm] 6|(p^2-1) [/mm] gilt.
Darauf wollte ich hinweisen.
Im vorliegenden Fall ist es allerdings nicht schwierig
zu zeigen, dass [mm] (p^2-1) [/mm] nicht nur durch 2, sondern
sogar durch 4 teilbar ist.
LG Al-Chw.
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