Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 03.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Unendlich viele Primzahlen lassen bei Division durch 3 den Rest 2 |
Hallo,
also wir haben:
1,2,3,5,7,11,13,17 usw. sind Primzahlen
5:3=1 Rest 2
7:3=2 Rest 1
aber ihr hat man doch quasi einen Widerspruch oder nicht?
Könnt ihr mit hier helfen?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 03.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Unendlich viele Primzahlen lassen bei Division
> durch 3 den Rest 2
> Hallo,
>
> also wir haben:
>
> 1,2,3,5,7,11,13,17 usw. sind Primzahlen
>
> 5:3=1 Rest 2
> 7:3=2 Rest 1
>
> aber ihr hat man doch quasi einen Widerspruch oder nicht?
Wieso ?
Die Beh. lautet nicht: "Alle Primzahlen lassen bei Division durch 3 den Rest 2"
sondern
"Unendlich viele Primzahlen lassen bei Division durch 3 den Rest 2"
FRED
>
> Könnt ihr mit hier helfen?
>
> Danke und Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 03.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ok! Also haben wir:
1:3=0 +1
2:3=0 +2
3:3=1 +0
5:3=1 +2
7:3=2 +1
11:3=3+2
13:3=4+1
17:3=5+2
19:3=6+1
23:3=7+2
29:3=9+2
Hmm... mir fehlt eine Idee...
Grüße
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> Hmm... mir fehlt eine Idee...
Hallo,
nun, wenn Du zeigen sollst, daß es unendlich viele sind, wäre es ja naheliegend, einen Beweis zu versuchen, indem Du annimmst, daß es nur endlich viele sind.
Nun könntest Du mal die größte dieser Primzahlen hernehmen, und alle Primzahlen bis inkl. dieser Zahl miteinander multiplizieren.
Welche Möglichkeiten gibt es für den Rest dieser Zahl?
Was weißt Du über die Zahl, die Du erhältst, wenn Du zu diesem Produkt die 1 addierst. Eigenschaft? Mögliche Reste?
Entdeckst Du den Widerspruch?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 03.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also habe ich doch:
[mm] m=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}+1
[/mm]
<=> [mm] m-1=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}
[/mm]
Also müsste doch auch gelten:
[mm] m=3(p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1})+2
[/mm]
Also hat m den Rest 2 bei Division durch 3
Grüße
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> Hallo,
>
> also habe ich doch:
>
> [mm]m=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}+1[/mm]
Hallo,
falls Du hieraus später irgendeinen Schluß ziehen möchtest, solltest Du mal ganz genau sagen, was Du mit [mm] p_1,..., p_{n-1} [/mm] meinst.
> <=> [mm]m-1=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}[/mm]
>
> Also müsste doch auch gelten:
>
> [mm]m=3(p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1})+2[/mm]
???
Es ist ja sicher nicht [mm] \produkt p_i [/mm] +1= [mm] 3\produkt p_i [/mm] +2 , oder?
Vielleicht willst Du eigentlich formulieren, daß [mm] m\equiv [/mm] 2 mod 3 ?
Wenn ja, müßtest Du mal einen Grund dafür sagen.
> Also hat m den Rest 2 bei Division durch 3
Mal angenommen, es wäre so: was machst Du mit dieser Information.
Tip: es könnte ganz nützlich sein, mal den Beweis dafür, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt, anzuschauen.
Gruß v. Angela
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > Hallo,
> >
> > also habe ich doch:
> >
> > [mm]m=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}+1[/mm]
>
> Hallo,
>
> falls Du hieraus später irgendeinen Schluß ziehen
> möchtest, solltest Du mal ganz genau sagen, was Du mit
> [mm]p_1,..., p_{n-1}[/mm] meinst.
Also wir haben doch [mm] p\in \PI (p_1,...,p_{n-1}) [/mm] sind doch endlich viele Primzahlen.
Bsp: 7*11*13
m=kgV=1001
Damit: [mm] m=p_1*p_2*p_3 [/mm] +1 (damit ist jedes p ein Teiler von m)
Wenn nun aber [mm] m-1=p_1*p_2*p_3 [/mm] ist, somit ist es kein Teiler mehr.
>
> > <=> [mm]m-1=p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1}[/mm]
> >
> > Also müsste doch auch gelten:
> >
> > [mm]m=3(p_1*p_2*p_3*...*p_{n-1})+2[/mm]
>
> ???
>
> Es ist ja sicher nicht [mm]\produkt p_i[/mm] +1= [mm]3\produkt p_i[/mm] +2 ,
> oder?
>
> Vielleicht willst Du eigentlich formulieren, daß [mm]m\equiv[/mm] 2
> mod 3 ?
> Wenn ja, müßtest Du mal einen Grund dafür sagen.
Nun ja, wenn ich das ganze mit also [mm] p_1,...,*p_{n-1} [/mm] mit 3 multipliziere, somit habe ich quasi das dreifache heraus. Wenn ich nun mod 3 rechne, dann ist es ja auch wieder ein Teiler davon.
Mhhhmm...
> > Also hat m den Rest 2 bei Division durch 3
> Mal angenommen, es wäre so: was machst Du mit dieser
> Information.
>
> Tip: es könnte ganz nützlich sein, mal den Beweis dafür,
> daß es nur endlich viele Primzahlen gibt, anzuschauen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Grüße
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele PZ gibt die bei Division durch 3 den Rest 2 lassen ( und das entsprechende mit Rest 1.
was passiert wenn du n primzahlen, die den Rest 2 lassen miteinander mult.?
Welchen Rest lässt abhängig von n das Produkt? das Produkt+1.
wenn nötig experimentier mal!
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele PZ gibt die
> bei division den rest 3 lassen ( und das entsprechende mit
> Rest 1.
> was passiert wenn du n primzahlen, die den Rest 2 lassen
> miteinander mult.?
> Welchen Rest lässt abhängig von n das Produkt? das
> Produkt+1.
> wenn nötig experimentier mal!
> gruss leduart
>
Hallo,
also nehmen wir mal an wir haben
5:3, 11:3 und 17:3. Diese lassen den Rest 2.
Wenn ich nun diese 3 Primzahlen miteinander multipliziere, dann erhalte ich
5*7*11=935. Das dürfte doch dann der kgV(5,7,11)=935=m sein. Also sind die Primzahlen [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] Vielfache von m. Das Produkt also der kgV lässt bei Division durch 3 ebenfalls den Rest 2.
Grüße!
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> > Hallo
> > Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele PZ gibt
> die
> > bei division den rest 3 lassen ( und das entsprechende mit
> > Rest 1.
> > was passiert wenn du n primzahlen, die den Rest 2
> lassen
> > miteinander mult.?
> > Welchen Rest lässt abhängig von n das Produkt? das
> > Produkt+1.
> > wenn nötig experimentier mal!
> > gruss leduart
> >
>
> Hallo,
>
> also nehmen wir mal an wir haben
>
> 5:3, 11:3 und 17:3. Diese lassen den Rest 2.
> Wenn ich nun diese 3 Primzahlen miteinander multipliziere,
> dann erhalte ich
> 5*7*11=935. Das dürfte doch dann der kgV(5,7,11)=935=m
> sein. Also sind die Primzahlen [mm]p_1, p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] Vielfache
> von m. Das Produkt also der kgV lässt bei Division durch 3
> ebenfalls den Rest 2.
>
Hallo,
was meinst Du mit m? Wieso sind 5,11,17 Vielfache davon?
Na gut, jedenfalls hast Du jetzt drei Primzahlen multipliziert, festgestellt, daß ihr Produkt bei Division durch 3 den Rest 2 läßt.
So weit, so gut.
Und weiter? Was hast Du noch gemacht? Deine Bemühungen werden sich ja hoffentlich nicht darin erschöpft haben, drei zahlen zu multiplizieren...
Was hast Du sonst noch herausgefunden? Irgendwelche allgemeinen Lehren?
Z.B.:
wenn ich 3 Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
(Du solltest die Aussage auch beweisen können).
Und weiter:
wenn ich n Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
Und wie lauten die Antworten auf die anderen Fragen, die Dir leduart gestellt hat?
Etwas mehr Aktivität bitte.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > > Hallo
> > > Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele PZ
> gibt
> > die
> > > bei division den rest 3 lassen ( und das entsprechende mit
> > > Rest 1.
> > > was passiert wenn du n primzahlen, die den Rest 2
> > lassen
> > > miteinander mult.?
> > > Welchen Rest lässt abhängig von n das Produkt? das
> > > Produkt+1.
> > > wenn nötig experimentier mal!
> > > gruss leduart
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > also nehmen wir mal an wir haben
> >
> > 5:3, 11:3 und 17:3. Diese lassen den Rest 2.
> > Wenn ich nun diese 3 Primzahlen miteinander
> multipliziere,
> > dann erhalte ich
> > 5*7*11=935. Das dürfte doch dann der kgV(5,7,11)=935=m
> > sein. Also sind die Primzahlen [mm]p_1, p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] Vielfache
> > von m. Das Produkt also der kgV lässt bei Division durch 3
> > ebenfalls den Rest 2.
> >
>
> Hallo,
>
> was meinst Du mit m? Wieso sind 5,11,17 Vielfache davon?
m=kgV
> Na gut, jedenfalls hast Du jetzt drei Primzahlen
> multipliziert, festgestellt, daß ihr Produkt bei Division
> durch 3 den Rest 2 läßt.
> So weit, so gut.
>
> Und weiter? Was hast Du noch gemacht? Deine Bemühungen
> werden sich ja hoffentlich nicht darin erschöpft haben,
> drei zahlen zu multiplizieren...
>
> Was hast Du sonst noch herausgefunden? Irgendwelche
> allgemeinen Lehren?
>
> Z.B.:
> wenn ich 3 Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
> (Du solltest die Aussage auch beweisen können).
Das Ergebnis ist: [mm] x=(p_1*p_2*p_3) [/mm] -> x [mm] \equiv [/mm] 2 mod 3
hmm...
wenn ich ja die Primzahlen 5*7*13 habe kommt dort 455 [mm] \equiv [/mm] 2 mod 3 heraus.
Habe ich nun 5*7*11 kommt dort 385 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3 heraus.
Also ist es ja nicht egal, welche Primzahlen ich miteinander multipliziere, denn es kommt ja nicht immer bei Division durch 3 der Rest 2 heraus.
> Und weiter:
> wenn ich n Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
[mm] n*(p_1*p_2*\dots*p_n) \equiv [/mm] 2 mod 3
[mm] \gdw [/mm]
[mm] n*(p_1*p_2*\dots*p_n) [/mm] -3 [mm] \equiv [/mm] 2
> Und wie lauten die Antworten auf die anderen Fragen, die
> Dir leduart gestellt hat?
>
> Etwas mehr Aktivität bitte.
>
> Gruß v. Angela
>
Grüße
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> >
> > > > Hallo
> > > > Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele PZ
> > gibt
> > > die
> > > > bei division den rest 3 lassen ( und das entsprechende mit
> > > > Rest 1.
> > > > was passiert wenn du n primzahlen, die den Rest 2
> > > lassen
> > > > miteinander mult.?
> > > > Welchen Rest lässt abhängig von n das Produkt?
> das
> > > > Produkt+1.
> > > > wenn nötig experimentier mal!
> > > > gruss leduart
> > > >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > also nehmen wir mal an wir haben
> > >
> > > 5:3, 11:3 und 17:3. Diese lassen den Rest 2.
> > > Wenn ich nun diese 3 Primzahlen miteinander
> > multipliziere,
> > > dann erhalte ich
> > > [mm] 5*\red{1}7*11=935. [/mm] Das dürfte doch dann der
> kgV(5,7,11)=935=m
> > > sein. Also sind die Primzahlen [mm]p_1, p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] Vielfache
> > > von m. Das Produkt also der kgV lässt bei Division durch 3
> > > ebenfalls den Rest 2.
> > >
> >
> > Hallo,
> >
> > was meinst Du mit m? Wieso sind 5,11,17 Vielfache davon?
>
> m=kgV
Hallo,
5, 11, 17 sind keine Vielfachen von 935, sondern Teiler.
>
>
>
> > Na gut, jedenfalls hast Du jetzt drei Primzahlen
> > multipliziert, festgestellt, daß ihr Produkt bei Division
> > durch 3 den Rest 2 läßt.
> > So weit, so gut.
> >
> > Und weiter? Was hast Du noch gemacht? Deine Bemühungen
> > werden sich ja hoffentlich nicht darin erschöpft haben,
> > drei zahlen zu multiplizieren...
> >
> > Was hast Du sonst noch herausgefunden? Irgendwelche
> > allgemeinen Lehren?
> >
> > Z.B.:
> > wenn ich 3 Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> > miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
> > (Du solltest die Aussage auch beweisen können).
>
> Das Ergebnis ist: [mm]x=(p_1*p_2*p_3)[/mm] -> x [mm]\equiv[/mm] 2 mod 3
>
> hmm...
>
> wenn ich ja die Primzahlen 5*7*13 habe kommt dort 455
> [mm]\equiv[/mm] 2 mod 3 heraus.
>
> Habe ich nun 5*7*11 kommt dort 385 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 heraus.
>
> Also ist es ja nicht egal, welche Primzahlen ich
> miteinander multipliziere, denn es kommt ja nicht immer bei
> Division durch 3 der Rest 2 heraus.
Ja. Und eine Regel für den Rest modulo 3 solltest Du mal entwickeln.
>
>
> > Und weiter:
> > wenn ich n Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> > miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
>
> [mm]n*(p_1*p_2*\dots*p_n) \equiv[/mm] 2 mod 3
Was soll das?
Was macht das n als Faktor?
Worum geht es Dir gerade?
Gruß v. Angela
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]n*(p_1*p_2*\dots*p_n)[/mm] -3 [mm]\equiv[/mm] 2
>
>
> > Und wie lauten die Antworten auf die anderen Fragen, die
> > Dir leduart gestellt hat?
> >
> > Etwas mehr Aktivität bitte.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > >
> > > > > Hallo
> > > > > Du willst doch zeigen, dass es unendlich viele
> PZ
> > > gibt
> > > > die
> > > > > bei division den rest 3 lassen ( und das entsprechende mit
> > > > > Rest 1.
> > > > > was passiert wenn du n primzahlen, die den
> Rest 2
> > > > lassen
> > > > > miteinander mult.?
> > > > > Welchen Rest lässt abhängig von n das
> Produkt?
> > das
> > > > > Produkt+1.
> > > > > wenn nötig experimentier mal!
> > > > > gruss leduart
> > > > >
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > also nehmen wir mal an wir haben
> > > >
> > > > 5:3, 11:3 und 17:3. Diese lassen den Rest 2.
> > > > Wenn ich nun diese 3 Primzahlen miteinander
> > > multipliziere,
> > > > dann erhalte ich
> > > > [mm]5*\red{1}7*11=935.[/mm] Das dürfte doch dann der
> > kgV(5,7,11)=935=m
> > > > sein. Also sind die Primzahlen [mm]p_1, p_2[/mm] und [mm]p_3[/mm] Vielfache
> > > > von m. Das Produkt also der kgV lässt bei Division durch 3
> > > > ebenfalls den Rest 2.
> > > >
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > was meinst Du mit m? Wieso sind 5,11,17 Vielfache davon?
> >
> > m=kgV
>
> Hallo,
>
> 5, 11, 17 sind keine Vielfachen von 935, sondern Teiler.
>
>
> >
> >
> >
> > > Na gut, jedenfalls hast Du jetzt drei Primzahlen
> > > multipliziert, festgestellt, daß ihr Produkt bei Division
> > > durch 3 den Rest 2 läßt.
> > > So weit, so gut.
> > >
> > > Und weiter? Was hast Du noch gemacht? Deine Bemühungen
> > > werden sich ja hoffentlich nicht darin erschöpft haben,
> > > drei zahlen zu multiplizieren...
> > >
> > > Was hast Du sonst noch herausgefunden? Irgendwelche
> > > allgemeinen Lehren?
> > >
> > > Z.B.:
> > > wenn ich 3 Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> > > miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
> > > (Du solltest die Aussage auch beweisen können).
> >
> > Das Ergebnis ist: [mm]x=(p_1*p_2*p_3)[/mm] -> x [mm]\equiv[/mm] 2 mod 3
> >
> > hmm...
> >
> > wenn ich ja die Primzahlen 5*7*13 habe kommt dort 455
> > [mm]\equiv[/mm] 2 mod 3 heraus.
> >
> > Habe ich nun 5*7*11 kommt dort 385 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 3 heraus.
> >
> > Also ist es ja nicht egal, welche Primzahlen ich
> > miteinander multipliziere, denn es kommt ja nicht immer bei
> > Division durch 3 der Rest 2 heraus.
>
> Ja. Und eine Regel für den Rest modulo 3 solltest Du mal
> entwickeln.
>
> >
> >
> > > Und weiter:
> > > wenn ich n Primzahlen, die kongruent 2 modulo 3 sind
> > > miteinander multiplizieren, ist das Ergebnis ...
> >
> > [mm]n*(p_1*p_2*\dots*p_n) \equiv[/mm] 2 mod 3
>
> Was soll das?
> Was macht das n als Faktor?
> Worum geht es Dir gerade?
>
> Gruß v. Angela
>
> > [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]n*(p_1*p_2*\dots*p_n)[/mm] -3 [mm]\equiv[/mm] 2
> >
> >
> > > Und wie lauten die Antworten auf die anderen Fragen, die
> > > Dir leduart gestellt hat?
> > >
> > > Etwas mehr Aktivität bitte.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > Grüße
>
hmmm
also hätten wir für n Primzahlen:
[mm] p_1*p_2*\dots*p_n \equiv [/mm] 2 mod 3
aber so ganz blicke ich da nicht durch. Was für eine Regel soll denn dort für den Rest bzgl der Division 3 gelten?
Wenn ich habe 2k+1, [mm] k\in \IN [/mm] dann erhalte ich ja die gewünschten Primzahlen. Natürlich erhält man auch Zahlen die keine Primzahlen sind. Diese müsste man dann ausschließen, sprich sind es doch gerade die Zahlen die ein Vielfaches der 3 darstellen, oder?
Bsp. k=4 -> 2k+1= 9, 3*3=9 (ausschließen!)
Grüße
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> hmmm
>
> also hätten wir für n Primzahlen:
>
> [mm]p_1*p_2*\dots*p_n \equiv[/mm] 2 mod 3
Hallo,
stimmt denn das?
Du mußt auch gründlich prüfen, was Du schreibst.
Nimm mal 2,5,11,17.
Weißt Du eigentlich, wie man im Restklassenring rechnet?
Vielleicht schlägst Du das nochmal nach.
Es ist [a]*[b]=[a*b], die eckigen Klammern bedeuten das in dem Zusammenhang Übliche.
Naja, jedenfalls solltest Du feststellen, daß für [mm] p_i\equiv [/mm] 2 mod 3 gilt:
[mm] \produkt_1^n p_i\equiv 2^n [/mm] (mod 3).
Weiter ist für jede Primzahl der Rest bei Division durch 3 entweder 1 oder 2.
Nun kehren wir mal zu meinem Ursprungsvorschlag zurück.
Nimm an, es ist [mm] p_N [/mm] die größte der Primzahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 lassen.
Multipliziere nun sämtliche Primzahlen bis zu dieser miteinander, also
[mm] 2*3*5*...*p_N.
[/mm]
Welchen Rest mod 3 kann diese Zahl lassen?
Welchen Rest läßt [mm] 2*3*5*...*p_N+1?
[/mm]
Hast Du Dir den Beweis dafür, daß es unendlich viele primzahlen gibt, angeschaut? Die dortige Argumentation kannst Du jetzt nämlich gebrauchen.
>
> Wenn ich habe 2k+1, [mm]k\in \IN[/mm] dann erhalte ich ja die
> gewünschten Primzahlen.
Versuch Dich mal so auszudrücken, daß Außenstehende deinen Gedanken folgen können.
Was soll 2k+1 jetzt sein, und was sind "gewünschte" Primzahlen?
> Natürlich erhält man auch Zahlen
> die keine Primzahlen sind.
Wenn man was tut?
> Diese müsste man dann
> ausschließen, sprich sind es doch gerade die Zahlen die
> ein Vielfaches der 3 darstellen, oder?
>
> Bsp. k=4 -> 2k+1= 9, 3*3=9 (ausschließen!)
Ich folge schlecht und kann anhand dieser Darstellung nicht entscheiden, ob Du den entscheidenden Gedanken gedacht hast oder nicht.
Gruß v. Angela
>
> Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
>
> > hmmm
> >
> > also hätten wir für n Primzahlen:
> >
> > [mm]p_1*p_2*\dots*p_n \equiv[/mm] 2 mod 3
>
> Hallo,
>
> stimmt denn das?
> Du mußt auch gründlich prüfen, was Du schreibst.
>
> Nimm mal 2,5,11,17.
>
> Weißt Du eigentlich, wie man im Restklassenring rechnet?
> Vielleicht schlägst Du das nochmal nach.
>
> Es ist [a]*=[a*b], die eckigen Klammern bedeuten das in dem
> Zusammenhang Übliche.
>
> Naja, jedenfalls solltest Du feststellen, daß für
> [mm]p_i\equiv[/mm] 2 mod 3 gilt:
>
> [mm]\Produkt_1^n p_i\equiv 2^n[/mm] (mod 3).
>
> Weiter ist für jede Primzahl der Rest bei Division durch 3
> entweder 1 oder 2.
>
> Nun kehren wir mal zu meinem Ursprungsvorschlag zurück.
>
> Nimm an, es ist [mm]p_N[/mm] die größte der Primzahlen, die bei
> Division durch 3 den Rest 2 lassen.
>
> Multipliziere nun sämtliche Primzahlen bis zu dieser
> miteinander, also
>
> [mm]2*3*5*...*p_N.[/mm]
>
> Welchen Rest mod 3 kann diese Zahl lassen?
[mm] x=(2*3*5*7*11*13*19*...*P_N) x\equiv [/mm] 0 mod 3
es lässt keinen Rest!
Für den anderes Fall erhalte ich in der Regel immer einen Rest von 1. Außer 2*3*5+1=31 : 3 = Rest 2
...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du bei 31/3 auf den Rest 2?
wenn du zu einer zahl, die durch 3 teilbar ist, wie alle zahlen p1*3*p3+--
1 addierst kommt immer rest 1 raus, wenn du 2 addierst kommt immer Rest 3 raus.!
jetzt leg mal los; du hast endlich viele, sagen wir n primzahlen pmod 3=2
kannst du daraus ne größere findn, die auch den Rest 2 lässt?
Du darfst das Ziel nicht aus den augen verlieren. hast du dir denn nun den Beweis, dass es unendlich viele PZ gibt angesehen?
Geh doch bitte auf posts ein!
erwa auf angelas: ja hab ich angesehen und verstanden oder sonst was, so dass man merkt, dass unsere schreiberei was nutzt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
> wie kommst du bei 31/3 auf den Rest 2?
ja, ich hatte etwas anderes im Kopf, ist aber natürlich falsch...
> wenn du zu einer zahl, die durch 3 teilbar ist, wie alle
> zahlen p1*3*p3+--
> 1 addierst kommt immer rest 1 raus, wenn du 2 addierst
> kommt immer Rest 3 raus.!
> jetzt leg mal los; du hast endlich viele, sagen wir n
> primzahlen pmod 3=2
> kannst du daraus ne größere findn, die auch den Rest 2
> lässt?
wenn ich von n+1 ausgehe, wird bestimmt eine mit dabei sein, die den Rest 2 lässt.
> Du darfst das Ziel nicht aus den augen verlieren. hast du
> dir denn nun den Beweis, dass es unendlich viele PZ gibt
> angesehen?
> Geh doch bitte auf posts ein!
> erwa auf angelas: ja hab ich angesehen und verstanden
> oder sonst was, so dass man merkt, dass unsere schreiberei
> was nutzt.
> Gruss leduart
>
Hallo,
den Beweis habe ich mir angeschaut, ja!
sind zwar auch wieder alles nur kurze antworten, die mich nicht weiterbringen, weil mir einfach die Idee fehlt bzw. ich mit euren Hilfestellungen keinen klaren Bezug schaffen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Antwort:
> jetzt leg mal los; du hast endlich viele, sagen wir n
> primzahlen pmod 3=2
> kannst du daraus ne größere findn, die auch den Rest 2
> lässt?
wenn ich von n+1 ausgehe, wird bestimmt eine mit dabei sein, die den Rest 2 lässt.
Das versteh ich nicht, du hast doch den Beweis für unendl viele primzahlen gesehen: datin ist ein Teil: angenommen es gibt nur eine endliche anzahl von primzahlen, diese Anzahl nenne ich n dann.....
dann kannst du doch nicht sagen, "ich geh von n+1 aus" wa soll das hier.
was ist der nächste Schritt in dem "normalen Primzahlbeweis", den sollst du (allerdings nicht genau) so ähnlich nachmachen.
Damit solltest du in die Gänge kommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 06.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
ja, aber es soll doch gezeigt werden, dass es für unendlich viele primzahlen gilt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch zeigen, das es unendlich viele PZ gibt, die den Rest 2 lassen.
die Idee ist ein widerspruchsbeweis: angenommen, es git nur endlich viele, dann gibt es eine feste zahl n die ihre Anzahl angibt, (jede endliche Zahl kann man nennen) wenn du jetzt zeigst, dass es wenn es n gibt, du dann noch eine weiter finden kannst, dann hast du einen widerspruch und bist fertig.
kleine kinder denken oft, es gibt eine größte (natürliche) Zahl.
Wenn das kind nicht zu klen ist kannst du ihm erklären, nein es gibt keine größte, die zahlen hören nie auf (ein anderes Wort für es gibt unendlich viele)
dann sagt das kind, ich hab gehör die Zahl Magog ist die größte. dann sagst du, ja aber Magog+1 ist doch größer. immer wenn es versucht, dir eine größte zahl zu sagen, sagst du einfach +1 ist größer, damit hast du gezeigt, dass sie nie aufhören.
das mit den nicht aufhörenden PZ ist etwas komlizierter, aber ähnlich. hier machst du einfach aus magog magog+1, bei den PZ musst du, um ne größere zu finden dich ein bissel mehr anstrengen.
aber noch mal, richt dich nach dem Beweis für die unendlich vielen PZ.
hast du den wirklich verstanden, dann skizzier ihn hier kurz, und wir verständigen uns besser.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen dann gilt:
2,3,5,7,11,...,n. Diese Annahme kann natürlich nicht stimmen, denn wenn man (2*3*5*7*,...,n)+1 betrachtet, kann man immer eine weitere größere Primzahl erhalten. Das Produkt von 2*3*5*7*...*n lässt bei Division mit einer Primzahl den Rest 0.
Das Produkt von (2*3*5*7*...*n)+1 lässt bei Division mit einer Primzahl den Rest 1.
Das Produkt von (2*3*5*7*...*n)+2 lässt bei Division mit einer Primzahl den Rest 2.
Demzufolge finde ich ja eine immer größere Primzahl durch den Faktor +1. Dies gilt natürlich auch für +2,+3,+4 etc. Also kann die Annahme nicht stimmen. Insgesamt, bilde ich das Produkt der Primzahlen, diese müssen auch wieder durch eine Primzahl teilbar sein (logische konsequenz) und 2 hinzuaddiere, bleibt mir ein Rest von 2.
???
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 07.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> Annahme: Es gibt endlich viele Primzahlen dann gilt:
> 2,3,5,7,11,...,n. Diese Annahme kann natürlich nicht
> stimmen, denn wenn man (2*3*5*7*,...,n)+1 betrachtet, kann
> man immer eine weitere größere Primzahl erhalten. Das
> Produkt von 2*3*5*7*...*n lässt bei Division mit einer
> Primzahl den Rest 0.
> Das Produkt von (2*3*5*7*...*n)+1 lässt bei Division mit
> einer Primzahl den Rest 1.
so falsch, nur bei einer division durch eine der n aufgeführten Primzahlen!
> Das Produkt von (2*3*5*7*...*n)+2 lässt bei Division mit
> einer Primzahl den Rest 2.
sieh oben, und zusätzlich lässt es bei Division durch die primzahl 2 den rest 0, ist also garantiert keine Primzahl
> Demzufolge finde ich ja eine immer größere Primzahl
> durch den Faktor +1.
+1 ist kein Faktor
>Dies gilt natürlich auch für
> +2,+3,+4 etc.
Nein, siehe oben
Also kann die Annahme nicht stimmen.
> Insgesamt, bilde ich das Produkt der Primzahlen, diese
> müssen auch wieder durch eine Primzahl teilbar sein
> (logische konsequenz) und 2 hinzuaddiere, bleibt mir ein
> Rest von 2.
also das solltest du besser machen.
und dann überlegen wie du es auf PZ übertragen kannst die den rest 2 bei Division durch 3 lassen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Mo 07.02.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
ich verstehs nicht... dann lassen wirs... ist eh nur eine übungsaufgabe zum klausurtraining...trotzdem danke!
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