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Hallöchen,
ich beschäftige mich immer noch mit der Nacharbeitung meiner Vorlesung und bin in einem Beweis auf Abschätzungen gestoßen, die ich nicht verstehe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Satz: [mm] \summe_{p PZ}= \bruch{1}{p} \to \infty.
[/mm]
Beweis:
Seien [mm] p_{1}=2, p_{2}=3,...., p_{n} [/mm] die Primzahlen in natürlicher Folge.
Wenn [mm] \summe_{i \ge 1} \bruch{1}{p_{i}}< \infty, [/mm] dann existiert ein k [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] \summe_{m=p_{k}+1}^{\infty} \bruch{1}{p_{m}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wieso existiert so ein k? Ich verstehe leider nicht genau warum, dass aus der Tatsache folgt, dass die Reihe konvergiert...
Setze [mm] Q=p_{1}...p_{k} [/mm] und betrachte 1+nQ mit n=1,2,.... Kein [mm] p_{i} [/mm] mit i [mm] \le [/mm] k teilt ein 1+nQ
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+nQ} \le \summe_{t=0}^{\infty} (\summe_{m=p_{k}+1}^{\infty} \bruch{1}{p_{m}})^{t} [/mm] < [mm] summe_{t=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{t}
[/mm]
Wieso gilt die erste Ungleicheit? Das ist mir leider nicht wirklich ersichtlich. und wieso muss ich den Ausruck in Klammern "hoch" t nehmen?
aber
[mm] \summe_{n} \bruch{1}{1+nQ} [/mm] = [mm] \bruch{1}{Q} \summe_{n} \bruch{1}{\bruch{1}{Q}+n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{Q} \summe_{n} \bruch{1}{1+n} \to \infty.
[/mm]
Kann mir jemand erklären wie die zwei Ungleichungen zu stande kommen? Den Rest verstehe ich auch aber ich komme da einfach nicht dahinter. Ich wäre über jeden Hinweis dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 30.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
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> ich beschäftige mich immer noch mit der Nacharbeitung
> meiner Vorlesung und bin in einem Beweis auf Abschätzungen
> gestoßen, die ich nicht verstehe. Vielleicht kann mir ja
> jemand helfen.
>
> Satz: [mm]\summe_{p PZ}= \bruch{1}{p} \to \infty.[/mm]
> Beweis:
> Seien [mm]p_{1}=2, p_{2}=3,...., p_{n}[/mm] die Primzahlen in
> natürlicher Folge.
> Wenn [mm]\summe_{i \ge 1} \bruch{1}{p_{i}}< \infty,[/mm] dann
> existiert ein k [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> [mm]\summe_{m=p_{k}+1}^{\infty} \bruch{1}{p_{m}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Wieso existiert so ein k? Ich verstehe leider nicht genau
> warum, dass aus der Tatsache folgt, dass die Reihe
> konvergiert...
Dies folgt aus dem Cauchy-Kriterium.
> Setze [mm]Q=p_{1}...p_{k}[/mm] und betrachte 1+nQ mit n=1,2,....
> Kein [mm]p_{i}[/mm] mit i [mm]\le[/mm] k teilt ein 1+nQ
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+nQ} \le \summe_{t=0}^{\infty} (\summe_{m=p_{k}+1}^{\infty} \bruch{1}{p_{m}})^{t}[/mm]
> < [mm]summe_{t=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^{t}[/mm]
> Wieso gilt die
> erste Ungleicheit? Das ist mir leider nicht wirklich
> ersichtlich. und wieso muss ich den Ausruck in Klammern
> "hoch" t nehmen?
Multipliziert man die Klammer (mit hoch $t$) aus, so erhaelt man eine Summe der Kehrwerte aller moeglichen Produkte der Primzahlen ab [mm] $p_{m}$. [/mm] Da $1+nQ$ nicht durch die Primzahlen [mm] $p_{1},\ldots, p_{k}$ [/mm] teilbar sind, sind sie nur durch die Primzahlen nach [mm] $p_{k}$ [/mm] teilbar, daher tauchen saemtliche [mm] $\frac{1}{1+nQ}$ [/mm] unter den Summanden der rechten Seite auf. Damit sollte sich die Ungleichung selber erklaeren, und weshalb es sinnvoll ist hoch $t$ zu nehmen.
> aber
> [mm]\summe_{n} \bruch{1}{1+nQ}[/mm] = [mm]\bruch{1}{Q} \summe_{n} \bruch{1}{\bruch{1}{Q}+n}[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{Q} \summe_{n} \bruch{1}{1+n} \to \infty.[/mm]
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> Kann mir jemand erklären wie die zwei Ungleichungen zu
> stande kommen? Den Rest verstehe ich auch aber ich komme da
> einfach nicht dahinter. Ich wäre über jeden Hinweis
> dankbar.
>
> LG Schmetterfee
Schoener Beweis!
P.S. Die Indizierung im Beweis scheint mir etwas fehlerhaft zu sein, war aber zu faul es zu korrigieren; das wesentliche ist ja klar.
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