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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 12.07.2006 | | Autor: | soccy |
| Aufgabe | | n sei das Produkt k verschiedener Primzahlen [mm] p_i [/mm] > 2. Zeigen Sie, dass die Kongruenz [mm] x^2 \equiv 1 [/mm] [mm] mod [/mm] [mm] n [/mm] dann genau [mm] 2 ^k [/mm] Lösungen in [mm] \IZ/n \IZ [/mm] hat. |
Leider habe ich gar keine Idee, wie diese Aufgabe zu lösen ist und der Tutor meinte, ihm sei diese Aufgabe auch unklar.
Ich freue mich auch über Teillösungen, Lösungsideen, ... ! Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt habe ich eine Idee, stimmt diese:
n = p1 * p2 * ... * pk, also ist [mm] x^2 [/mm] [mm] \equiv [/mm] 1 mod p1 * ... * pk, also ist [mm] x^2 [/mm] [mm] \equiv [/mm] 1 mod p1 , [mm] x^2 [/mm] [mm] \equiv [/mm] 1 mod p2, [mm] x^2 [/mm] [mm] \equiv [/mm] 1 mod ... bis [mm] x^2 [/mm] [mm] \equiv [/mm] 1 mod pk. Da x immer positiv und negativ sein kann (da Quadrat ist dies in jedem Fall gleich) gibt es also nicht nur k Lösungen sondern [mm] 2^k [/mm] ..... oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 12.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> n sei das Produkt k verschiedener Primzahlen [mm]p_i[/mm] > 2.
> Zeigen Sie, dass die Kongruenz [mm]x^2 \equiv 1[/mm] [mm]mod [/mm] [mm]n[/mm] dann
> genau [mm]2 ^k[/mm] Lösungen in [mm]\IZ/n \IZ[/mm] hat.
Hinweis: Verwende den Chinesischen Restsatz, um die Gleichung in $k$ voneinander unabhaengige Gleichungen zu zerlegen. Wieviele Loesungen hat jede dieser `kleinen Gleichungen'? Wie setzt sich eine Loesung der `grossen Gleichung' aus denen der `kleinen Gleichungen' zusammen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Do 13.07.2006 | | Autor: | soccy |
Vielen Dank, damit check ich's juhu! Supi :)
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