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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Sa 08.10.2011 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Seien $3 [mm] \le [/mm] p< q<r<s$ Primzahlen , die die Gleichung
[mm] $1-\frac{1}{p} [/mm] = [mm] \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}$ [/mm] erfüllen
Zeige: $qrs-2 [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \mod( p^2) [/mm] $ |
hab das mit Computer überprüft bis
3<p<q<r<s<8000
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> Seien [mm]3 \le p< q
>
> [mm]1-\frac{1}{p} = \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}[/mm] erfüllen
>
> Zeige: [mm]qrs-2 \ne 0 \mod( p^2)[/mm]
> hab das mit Computer
> überprüft bis
> 3<p<q<r<s<8000
... und worin genau bestünde deine Frage bzw. deine eigenen
Ansätze für einen allgemeinen Beweis ?
Eine Überprüfung mittels Computer für kleine p,q,r,s könnte
nur wirklich klärend sein, falls die Behauptung falsch wäre.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 08.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Das ist ja eine Vermutung von mir (die ich u.a. auch durch die numerische Überprüfung für kleine pqrs,... zumindest nicht widerlegt bekommen habe)
Was ich sonst noch herausgefunden habe bei Betrachtung $mod(6)$
[mm] $p\equiv [/mm] -1(6)$, mindestens eins der $q,r,s [mm] \equiv [/mm] 1(6)$
aber weiter komm ich einfach nicht...
Vielleicht hat ja sonst irgendwer eine Idee...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Sa 08.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn p, q, r und s Primzahlen sind, sind sowohl p-q, also auch q-1 und r-1 sowie s-1 gerade Zahlen.
Nun gilt:
$ [mm] 1-\frac{1}{p} [/mm] = [mm] \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] qrs-2 = [mm] \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{1-\frac{1}{p}} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] qrs-2 = [mm] \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{\frac{p-1}{p}} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow [/mm] qrs-2 = [mm] \frac{p(q-1)(r-1)(s-1)-2p}{p-1} [/mm] $
Nun müsste man doch rechterhand 2 ausklammern können
Und da qrs ungerade ist, ist auch qrs-2 ungerade.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 08.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Leider wird rechter Hand eine gerade durch eine gerade Zahl multipliziert, was aber durchauch ungerade ergeben kann. z.B. 6/2=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Sa 08.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Seien [mm]3 \le p< q
>
> [mm]1-\frac{1}{p} = \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}[/mm] erfüllen
>
> Zeige: [mm]qrs-2 \ne 0 \mod( p^2)[/mm]
> hab das mit Computer
> überprüft bis
> 3<p<q<r<s<8000
Hallo,
die gegebene Gleichung ist äquivalent zu
[mm] \frac{p-1}{p} [/mm] = [mm] \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}
[/mm]
bzw.
[mm] \frac{(p-1)(qrs-2)}{p} [/mm] =(q-1)(r-1)(s-1)-2
bzw
(p-1)(qrs-2)=p((q-1)(r-1)(s-1)-2)
Ich würde jetzt wohl mit einem indirekten Beweis versuchen, die Gegenannahme [mm] \red{p^2|(qrs-2)} [/mm] zu einem Widerspruch zu führen.
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:51 Sa 08.10.2011 | | Autor: | wauwau |
Genau aus dieser Darstellung habe ich bis jetzt ermittelt, dass $p [mm] \equiv [/mm] -1(6)$ und mind eins der $q,r,s [mm] \equiv [/mm] 1(6)$ sein muss.
Man bräuchte ja nur zu zeigen, dass
Wenn $p|(q-1)(r-1)(s-1)-2$ dann $(p-1) [mm] \not [/mm] | (q-1)(r-1)(s-1)-2$ bzw umgekehrt, was mit aber noch nicht gelungen ist.
Vielleicht hast Du ja ne idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 01.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Sa 08.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Seien [mm]3 \le p< q
> >
> > [mm]1-\frac{1}{p} = \frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}[/mm] erfüllen
> >
> > Zeige: [mm]qrs-2 \ne 0 \mod( p^2)[/mm]
> > hab das mit Computer
> > überprüft bis
> > 3<p<q<r<s<8000
> Hallo,
> die gegebene Gleichung ist äquivalent zu
> [mm]\frac{p-1}{p}[/mm] = [mm]\frac{(q-1)(r-1)(s-1)-2}{qrs-2}[/mm]
> bzw.
> [mm]\frac{(p-1)(qrs-2)}{p}[/mm] =(q-1)(r-1)(s-1)-2
> bzw
Aus
> (p-1)(qrs-2)=p((q-1)(r-1)(s-1)-2)
folgt sofort:
* $p$ ist ein Teiler von $q r s - 2$;
* $p - 1$ ist ein Teiler von $(q - 1) (r - 1) (s - 1) - 2$.
Die Behauptung $q r s - 2 [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p^2}$ [/mm] ist weiterhin aequivalent zu $(q - 1) (r - 1) (s - 1) - 2 [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Wegen $(q - 1) (r - 1) (s - 1) - 2 = q r s - 2 - q r - q s - r s + q + r + s$ und wegen $q r s - 2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{p}$ [/mm] ist die Behauptung also aequivalent zu $q + r + s [mm] \not\equiv [/mm] q r + q s + r s [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Ob das was bringt, steht allerdings auf einem anderen Stern...
LG Felix
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