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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:49 Mi 01.07.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Eine p-Gruppe ist eine endliche Gruppe,
deren Ordnung eine Potenz von p ist. Zeigen Sie, dass jede nichttriviale p-Gruppe ein Element der Ordnung p enthält.
Geben Sie ein Beispiel einer nicht-abelschen p-Gruppe an.
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Ich bin mir nicht ganz sicher ob mit nichttrivialer p-Gruppen p-Gruppen mit p>2 gemeint sein sollen?
Ich würde bei der Lösung irgendwie mit dem kleinen Fermat herangehen, um dann irgendwie auf [mm] a^p\equiv [/mm] 1 (mod p), [mm] p\inP [/mm] zu kommen. Weiß jemand ob man so zu einer Lösung kommen könnte?
Gruß,malte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Mi 01.07.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei p eine Primzahl. Eine p-Gruppe ist eine endliche
> Gruppe,
> deren Ordnung eine Potenz von p ist. Zeigen Sie, dass jede
> nichttriviale p-Gruppe ein Element der Ordnung p enthält.
> Geben Sie ein Beispiel einer nicht-abelschen p-Gruppe an.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher ob mit nichttrivialer
> p-Gruppen p-Gruppen mit p>2 gemeint sein sollen?
Das glaube ich eher nicht. Ich vermute dagegen, daß gemeint ist "jede nicht-triviale Gruppe, die eine p-Gruppe ist". Weil ich nämlich glaube, daß [mm] p^0 [/mm] auch eine Potenz von p ist, und somit die triviale Gruppe auch eine p-Gruppe wäre.
(Das ist so ähnlich wie mit dem italienischen Restaurantbesitzer und dem Besitzer eines italienischen Restaurants.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mi 01.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich bin mir nicht ganz sicher ob mit nichttrivialer
> p-Gruppen p-Gruppen mit p>2 gemeint sein sollen?
Eine nicht-triviale Gruppe ist immer eine, die mehr als eine Element enthält, also Elemente mit Ordnung [m]\ne 1[/m].
> Ich würde bei der Lösung irgendwie mit dem kleinen Fermat
> herangehen, um dann irgendwie auf [mm]a^p\equiv[/mm] 1 (mod p),
> [mm]p\inP[/mm] zu kommen. Weiß jemand ob man so zu einer Lösung
> kommen könnte?
Geht schon in die richtige Richtung - was soll aber dein a sein? Du kannst erstmal nur davon ausgehen, dass es eine Element b gibt mit [m]ord(b)=p^k,k\ge 1[/m]. Siehst du das? Wie kommst du nun auf ein Element der Ordnung genau p?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Do 02.07.2009 | | Autor: | tux23 |
Ja denn deine Behauptung folgt ja direkt aus der Definition.
Ich habe nun folgenden Vorschlag zur Lösung:
Sei G eine p-Gruppe. Die Ordnung einer Gruppe ist gerade die Anzahl ihrer Elemente. D.h. G besitzt [mm] p^k [/mm] Elemente. D.h. für das Modul m von G gilt [mm] m=(p^k+1). [/mm] D.h. [mm] (p^k+1)|(a^p-1). [/mm] D.h. es [mm] \exists z\in [/mm] Z mit [mm] a^p=z*(p^k+1)+1. [/mm] D.h. für z=0 ergibt sich [mm] a^p=1. [/mm] Da ich diesen Ausdruck durch Äquivalenzumformungen ereicht habe, darf ich in [mm] a^p\equiv [/mm] 1 [mm] (p^k+1) [/mm] für [mm] a^p [/mm] 1 einsetzen und es ergibt sich [mm] 1\equiv [/mm] 1 [mm] (p^k+1) [/mm] und ord(a)=p. q.e.d
(geht das so???)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Do 02.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Sei G eine p-Gruppe. Die Ordnung einer Gruppe ist gerade
> die Anzahl ihrer Elemente. D.h. G besitzt [mm]p^k[/mm] Elemente.
Ja.
> D.h. für das Modul m von G gilt [mm]m=(p^k+1).[/mm]
Was ist denn das Modul? Gruppen sind nicht nur die "Modulo"-Gruppen! Es gibt viel mehr!
> D.h.
> [mm](p^k+1)|(a^p-1).[/mm]
Was ist a?!
> D.h. es [mm]\exists z\in[/mm] Z mit
> [mm]a^p=z*(p^k+1)+1.[/mm] D.h. für z=0 ergibt sich [mm]a^p=1.[/mm]
??? Was machst du da? Du kannst auch z nicht einfach 0 setzen!
> Da ich
> diesen Ausdruck durch Äquivalenzumformungen ereicht habe,
> darf ich in [mm]a^p\equiv[/mm] 1 [mm](p^k+1)[/mm] für [mm]a^p[/mm] 1 einsetzen und es
> ergibt sich [mm]1\equiv[/mm] 1 [mm](p^k+1)[/mm] und ord(a)=p. q.e.d
Es ist eine allgemeine Gruppe, nicht umbedingt eine Gruppe der Form [m]\IZ/n\IZ[/m].
> (geht das so???)
Nein.
SEcki
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