Primzahlpotenz und Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Man zeige, dass bis auf Isomorphie höchstens einen Körper der Ordnung 3 gibt.
Bemerkung(ohne Beweis) : Die Ordnung eines endlichen Körpers ist stets Primzahlpotenz. ist umgekehrt [mm] p^{a} [/mm] Primzahlpotenz, so gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper der Ordnung [mm] p^{a}. [/mm] |
Also ich hab mich da schlau gemacht :
[mm] q=p^{a}, [/mm] dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit genau q Elementen. p muss ja eine primzahl sein : 2,3,5,7.... und a [mm] \in \IN.
[/mm]
In meiner Aufgabe soll es ja ein Körper der Ordnung 3 sein also ein Körper mit genaun 3 Elementen. Also ist q=3
In die Formel eingesetzt gibt es nur eine Lösung (also nur einen Körper):
[mm] 3=3^{1} [/mm]
Bin ich soweit richtig ??
Aber ich glaub so bin ich nicht fertig. Soll ich mir einen Körper basteln ?
K={0,1,2} und dann (K,*,+) und die verknüpfungstafeln ?
Ich muss doch wahrscheinlich die isomorhoe i-wie beweisen.
Aber wie soll ich da Homomorphismuss und bijektivität beweisen.
Die formeln kann ich ja aber wie mach ich das praktisch ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man zeige, dass bis auf Isomorphie höchstens einen Körper
> der Ordnung 3 gibt.
>
> Bemerkung(ohne Beweis) : Die Ordnung eines endlichen
> Körpers ist stets Primzahlpotenz. ist umgekehrt [mm]p^{a}[/mm]
> Primzahlpotenz, so gibt es bis auf Isomorphie genau einen
> Körper der Ordnung [mm]p^{a}.[/mm]
Duerft ihr die Bemerkung benutzen? Wenn ja, ist das ganze ja voellig trivial.
> Also ich hab mich da schlau gemacht :
>
> [mm]q=p^{a},[/mm] dann gibt es bis auf Isomorphie genau einen
> Körper mit genau q Elementen. p muss ja eine primzahl sein
> : 2,3,5,7.... und a [mm]\in \IN.[/mm]
>
> In meiner Aufgabe soll es ja ein Körper der Ordnung 3 sein
> also ein Körper mit genaun 3 Elementen. Also ist q=3
>
> In die Formel eingesetzt gibt es nur eine Lösung (also nur
> einen Körper):
> [mm]3=3^{1}[/mm]
Genau.
> Aber ich glaub so bin ich nicht fertig. Soll ich mir einen
> Körper basteln ?
Nein, brauchst du nicht. Du sollst nur zeigen, dass zwei solche isomorph sind.
Du nimmst dir also zwei Koerper [mm] $K_1, K_2$ [/mm] mit 3 Elementen. Zwei davon sind ja jeweils 0 und 1, das dritte sei [mm] $a_1 \in K_1$ [/mm] bzw. [mm] $a_2 \in K_2$.
[/mm]
Da ein Ringisomorphismus 0 und 1 erhalten muss, muss [mm] $\phi [/mm] : [mm] K_1 \to K_2$ [/mm] also [mm] $\phi(0) [/mm] = 0$, [mm] $\phi(1) [/mm] = 1$ und [mm] $\phi(a_1) [/mm] = [mm] a_2$ [/mm] erfuellen.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] $\phi$ [/mm] auch tatsaechlich ein Homomorphismus ist. Fuer [mm] $\phi(a [/mm] + b) = [mm] \phi(a) [/mm] + [mm] \phi(b)$ [/mm] und [mm] $\phi(a [/mm] b) = [mm] \phi(a) \phi(b)$ [/mm] musst du jetzt jeweils $a, b [mm] \in \{ 0, 1, a_1 \}$ [/mm] einsetzen und nachrechnen, ob's stimmt.
LG Felix
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