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hallo
sei p primzahl,G eine nicht trivial abelsche gruppe mit p-Torsion,d.h.
[mm] Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G.
[/mm]
wenn G endlich erzeugt ,kann es gezeigt wird ,dass G endlich ist.
ich habe nun problem zu zeigen,dass G auch von primzahlpotenzordnung ist.
aus [mm] Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G [/mm] folgt,dass es g aus G gibt mit [mm] g^{p}=e,darau [/mm] folgt ,dass p teilt |G|,..........?
Gruesse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Di 22.11.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Ye!
> sei p primzahl,G eine nicht trivial abelsche gruppe mit
> p-Torsion,d.h.
> [mm]Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G.[/mm]
> wenn G endlich erzeugt
> ,kann es gezeigt wird ,dass G endlich ist.
> ich habe nun problem zu zeigen,dass G auch von
> primzahlpotenzordnung ist.
Das sollte mit vollst. Induktion gehen. Wenn n die Gruppenordnung ist und die Beh. für alle m [mm] \le [/mm] n richtig ist, nimmt man die von einem Element erzeugte zyklische Untergruppe der Ordnung p und bildet die Restklassengruppe, für die dann die Ind.-voraussetzung gilt.
> aus [mm]Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G[/mm] folgt,dass es g aus G
> gibt mit [mm]g^{p}=e,darau[/mm] folgt ,dass p teilt |G|,..........?
Kommst du so weiter?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> hallo
> sei p primzahl,G eine nicht trivial abelsche gruppe mit
> p-Torsion,d.h.
> [mm]Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G.[/mm]
> wenn G endlich erzeugt
> ,kann es gezeigt wird ,dass G endlich ist.
> ich habe nun problem zu zeigen,dass G auch von
> primzahlpotenzordnung ist.
> aus [mm]Tor_{p}(G):={x\in G | x^{p}=e}=G[/mm] folgt,dass es g aus G
> gibt mit [mm]g^{p}=e,darau[/mm] folgt ,dass p teilt |G|,..........?
Hallo,
ich habe noch einen anderen Vorschlag zur Lösung:
Wenn ord(G) nicht Potenz von p ist, gibt es ja eine weitere Primzahl q, welche ord(G) teilt. Nach dem ersten Sylow Satz gibt es dann eine Untergruppe der Ordnung q ==> es gibt ein Element der Ordnung q ==>...
Gruß v. Angela
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