Probier-Gleichung oder Beweis < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde 5 voneinander verschiedene, natürliche Zahlen, für die folgende Gleichung gilt:
a + (b*c) - (d*e) = (a*b) - (c*d) + e |
Nach stundenlangem (?) Probieren könnte man auf die Lösung kommen:
a=17 b=16 c=15 d=14 und e=13
oder auch auf:
a=6 b=5 c=4 d=3 und e=2
ebenso wie auf:
a=9 b=8 c=7 d=6 und e=5
Und dann kommt irgendwann der Verdacht auf, dass das mit allen um jeweils Eins absteigenden Zahlen funktionieren könnte. Oder ist das purer Zufall?
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Hallo rabilein,
> Finde 5 voneinander verschiedene, natürliche Zahlen, für
> die folgende Gleichung gilt:
>
> a + (b*c) - (d*e) = (a*b) - (c*d) + e
> a=17 b=16 c=15 d=14 und e=13
>
> oder auch auf:
> a=6 b=5 c=4 d=3 und e=2
>
> ebenso wie auf:
> a=9 b=8 c=7 d=6 und e=5
>
> Und dann kommt irgendwann der Verdacht auf, dass das mit
> allen um jeweils Eins absteigenden Zahlen funktionieren
> könnte. Oder ist das purer Zufall?
>
Nein, ist es nicht, setzen wir doch mal, wenn wir schon den Verdacht haben, für a = e+4, b=e+3, c=e+2 und d= e+1 ein:
a + (b*c) - (d*e)
= e+4 + (e+3)(e+2) - (e+1)e
= e+4 + [mm] e^{2} [/mm] +5e+6 - [mm] e^{2} [/mm] - e
= 5e+10
= [mm] e^{2} [/mm] +7e+12 - [mm] e^{2}-3e-2 [/mm] +e
=(e+4)(e+3) - (e+2)(e+1) +e
=(a*b) - (c*d) + e
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 23.05.2015 | | Autor: | rmix22 |
Dass alle 5-tupel mit der von dir beschriebenen Bauart Lösung sind, hat ja ms2008de schon geklärt.
Dass du trotz stundenlangem Probieren aber auf keine andere Lösungen gekommen bist, das ist schon bemerkenswert. Schließlich gibt es noch eine Fülle von weiteren Lösungen. Allein mit den Zahlen 1 bis 5 lässt sich nicht nur 5-4-3-2-1 finden sondern auch 1-4-3-2-5.
Weiter Beispiele:
1-4-7-8-9
7-5-4-3-1
1-2-5-3-6
usf.
Eine interessante Zusatzaufgabe ist es, zu zeigen, dass man aus jedem Lösungs-5-tupel beliebig viele weitere erzeugen kann, indem man zu jeder Zahl die gleiche Konstante addiert.
Da kann es hilfreich sein, zuvor die Beziehung b+c-d-e= a+b-c-d zu zeigen.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 25.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Dass du trotz stundenlangem Probieren aber auf keine
> andere Lösungen gekommen bist, das ist schon
> bemerkenswert. Schließlich gibt es noch eine Fülle von
> weiteren Lösungen.
Es müsste auch noch eine andere Lösungsmöglichkeit geben (habe das jetzt nicht in der Praxis ausprobiert):
Man setzt a, b und c willkürlich fest (z.B. a=3, b=10, c=1) und schaut dann, in welchem Verhältnis d und e dann zueinander stehen müssen (dafür müsste es unendlich viele Lösungen in [mm] \IR [/mm] geben). Und dann schaut man, welche der Lösungen gleichzeitig die anderen Kriterien erfüllen (dass es sich um natürliche Zahlen handelt, die von den bereits vorgegebenen drei Zahlen verschieden sind).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe mal mit folgenden Weg ein Tupel errechnet (vielleicht läßt sich das
ja verallgemeinern):
> Finde 5 voneinander verschiedene, natürliche Zahlen, für
> die folgende Gleichung gilt:
>
> a + (b*c) - (d*e) = (a*b) - (c*d) + e
[mm] $\iff$
[/mm]
$a+bc+cd=ab+de+e$
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $a+c*(b+d)=ab+e*(d+1)\,.$
[/mm]
Setze [mm] $b:=x+1\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IN_0$), [/mm] dann
[mm] $\iff$
[/mm]
$a+c*(x+1+d)=a*(x+1)+e*(d+1)$
[mm] $\iff$
[/mm]
$a+c*(d+1)+cx=a+e*(d+1)+ax$
[mm] $\iff$
[/mm]
$c*(d+1)+cx=e*(d+1)+ax$
[mm] $\iff$
[/mm]
$(d+1)*(c-e)=x*(a-c)$
[mm] $\iff$
[/mm]
$(d+1)*(c-a+a-e)+x*(c-a)=0$
[mm] $\iff$
[/mm]
[mm] $(c-a)*(d+1+x)=(e-a)*(d+1)\,.$
[/mm]
Hinreichend ist (wobei ich hier nicht die Verschiedenheit der Zahlen beachte)
$c-a=d+1$ und [mm] $d+1+x=e-a\,.$
[/mm]
[Denn: Die Multiplikation kommutiert. Natürlich wäre auch
[mm] $(c-a)=(e-a)\,$ [/mm] und [mm] $(d+1+x)=(d+1)\,$
[/mm]
eine hinreichende Forderung, aber da liefen wir direkt auf [mm] $c=e\,$ [/mm] zu, was wir
ja nicht wollen!]
Also
[mm] $a=c-d-1=e-d-1-x\,,$
[/mm]
d.h. neben
(1) [mm] $a=c-d-1\,$
[/mm]
auch
(2) [mm] $x+c=e\,.$
[/mm]
Wir wählen etwa [mm] $c:=27\,$ [/mm] und [mm] $d:=12\,.$ [/mm] Dann ist nach (1)
[mm] $a=c-d-1=14\,.$
[/mm]
Nach (2) ist
[mm] $x=e-c=e-27\,.$
[/mm]
Setzen wir [mm] $e:=32\,,$ [/mm] so ist
[mm] $x=32-27=5\,.$
[/mm]
Also:
$a=14,$ $b=x+1=6,$ $c=27,$ $d=12$ und $e=32$
wäre bspw. ein Lösungstupel.
Test: Hier ist
$a + (b*c) - [mm] (d*e)=14+(6*27)-(12*32)\,=\;-\;208$
[/mm]
und
$(a*b) - (c*d) + [mm] e=(14*6)-(27*12)+32=-208\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 26.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Finde 5 voneinander verschiedene, natürliche Zahlen, für die folgende Gleichung gilt:
>
> a + (b*c) - (d*e) = (a*b) - (c*d) + e
Ich hatte die ganze Zeit überlegt, wie ich überhaupt auf diese Aufgabe kam. Der Ursprung davon lag schon einige Jahrzehnte zurück:
Damals hatte ich meinem alten Commodore-Computer die Aufgabe gestellt, durch "Probieren" herauszufinden, wie man mithilfe von Plus, Mal, Minus und Klammern von fünf vorgegebenen Zahlen möglichst nahe an eine vorgegebene Zielzahl herankommt, oder im Idealfall diese Zielzahl sogar exakt trifft.
So ein "Volltreffer" kam allerdings nur selten vor. Dafür war der Computer - bzw. sein Programmierer - nicht einfallsreich genug, um sämtliche möglichen Möglichkeiten durchzuprobieren. Ich war dann immer schon froh, möglichst nah an die Zielzahl ranzukommen.
Al-Chwarizmi hat diese Aufgabe dann noch weiter "perfektioniert", als man zu Jahresanfang auf die jeweilige Jahreszahl kommen solte unter Benutzung der Zahlen 1 bis 9 (und dann auch noch in dieser Reihenfolge), wobei auch noch dividiert und potenziert werden durfte.
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