Problem Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht zu rande komme
Sei A,B [mm] \in \IR [/mm] und [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix in [mm] \IR^{nxn}.
[/mm]
a) Sei A+B regulär. Man zeige
A-A(A+B)^(-1)A=B-B(A+B)^(-1)B.
b) Es gelte [mm] A^3+3A^2+2A+5*E_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass A invertierbar ist.
c) Sei [mm] E_{n}-AB [/mm] regulär. Man zeige
[mm] (E_{n}-AB)^{-1}=E_{n}+A(E_{n}-BA)^{-1}
[/mm]
Könnt ihr mir da helfen, wäre super!
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mir ist da ein Fehler unterlaufen bei c)
es muss heißen:
[mm] (E_{n}-AB)^{-1}=E_{n}+A(E_{n}-BA)^{-1}B
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich rechne dir die a) mal vor. Bei der b) fehlt etwas (dort steht keine Gleichung) und die c) versuchst du bitte selber und postest wenigstens einen Rechenversuch.
zur a):
Aus
[mm] $(A+B)(A+B)^{-1} [/mm] = [mm] E_n$
[/mm]
folgt:
[mm] $A(A+B)^{-1} [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1} [/mm] = [mm] E_n [/mm] = [mm] AA^{-1}$.
[/mm]
Multipliziert man von rechts mit $A$, so erhält man:
[mm] $A(A+B)^{-1}A [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1}A [/mm] = A$.
Es folgt also:
(1) [mm] $A-A(A+B)^{-1}A [/mm] = [mm] B(A+B)^{-1}A$.
[/mm]
Aber es gilt auch:
(2) $B = [mm] B(A+B)^{-1}(A+B) [/mm] = [mm] B(A+B)^{-1}A [/mm] + [mm] B(A+B)^{-1}B$.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt:
$A - [mm] A(A+B)^{-1}A [/mm] = B - [mm] B(A+B)^{-1}B$.
[/mm]
Ganz schön tricky... 
Liebe Grüße
Stefan
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ja tut mir leid bei b) müßte stehen
[mm] A^3+3A^2+2A+5E_{n}=0
[/mm]
also ich denke man muss hier zeigen das [mm] AA^{-1}=E_{n} [/mm] gilt
dazu könnte man ja [mm] 5E_{n} [/mm] auf die andere zeige bringen und durch -5 teilen.
[mm] -1/5A^3-3/5A^2-2/5A=E_{n}
[/mm]
jetzt könnte man ja A auklammern, aber richtig weiterhilft mir das nicht.
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ahhh alles klar, dankeschön
und bei c) da muss ich sicherlich wieder mit irgendwas multiplizieren, hab es noch nicht raus gefunden, werde das aber noch weiter versuchen.
nochmal danke für die hilfe
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![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]"){kind=small}
