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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

Aufgabe
xy' = y(lny-lnx); y(2)=2

Hallo, ich habe ein Problem beim Lösen dieser DGL. Durch substitution z=y/x
bekomme ich dz/z (lnz-1) = dx/x

ich komme da auf ln|lnz|-ln|z| = ln|x| +C

da hänge ich dann, kann zwar noch 2* die e-fkt anwenden aber irgendwie haut das nicht hin!! Richtiges Ergebnis soll sein: y(x)=x exp(-x/2+1)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Fr 15.05.2009
Autor: fred97

1. Wegen y(2) =2 ist z(2) = 1, daher kannst Du z> 0 annehmen

2. Deine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{z(ln(z)+1)} [/mm] ist falsch !

Richtig ist:  $\ ln(ln(z)+1)$

Versuchs mal mit der Substitution $\ u = ln(z)+1$

FRED

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

ok, danke schonmal. Dann hänge ich aber leider wieder:

Nach Integrieren beider Seiten erhalte ich die Gleichung:

ln|ln z-1| = ln|x| +C ;

dann mit e-fkt.

z-e = exp(x*C), an dieser Stelle komme ich nicht weiter, da hat sich bestimmt wieder ein Fehler eingeschlichen

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Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Fr 15.05.2009
Autor: MathePower

Hallo skippy09,

[willkommenmr]

> ok, danke schonmal. Dann hänge ich aber leider wieder:
>  
> Nach Integrieren beider Seiten erhalte ich die Gleichung:
>  
> ln|ln z-1| = ln|x| +C ;
>  
> dann mit e-fkt.
>  
> z-e = exp(x*C), an dieser Stelle komme ich nicht weiter, da
> hat sich bestimmt wieder ein Fehler eingeschlichen  


Das ist zunächst mal

[mm]\vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C*x}[/mm]

Es kommt jetzt darauf an, ob [mm]0

Gruß
MathePower

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

dieses z ist doch mein y/x ?  weis da leider nicht wie ich weiter machen soll um auf das Ergebnis zu kommen

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Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 15.05.2009
Autor: MathePower

Hallo skippy09,

> dieses z ist doch mein y/x ?  weis da leider nicht wie ich


Ja.


> weiter machen soll um auf das Ergebnis zu kommen

Ok, ich hab mich verschrieben:

[mm]\ln\vmat{\ln\left(z\right)-1}=\ln\vmat{x}+C[/mm]

[mm]\Rightarrow \vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C}*\vmat{x}[/mm]

Da [mm]x>0[/mm] kannst Du auch schreiben:

[mm]\Rightarrow \vmat{\ln\left(z\right)-1}=e^{C}*x[/mm]

Die Konstante ermittelst Du aus der Bedingung [mm]z\left(2\right)=1[/mm]

Wie gesagt,  dann muß man eine Fallunterscheidung für z bzw. y machen.

Für [mm] z \ge e^{1}[/mm] steht dann da: [mm]\ln\left(z\right)-1=e^{C}*x[/mm]

Für [mm]0 < z \le e^{1}[/mm]: [mm]1-\ln\left(z\right)=e^{C}*x[/mm]


Gruß
MathePower

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

wie komme ich damit auf die Form y(x) = x exp(-x/2 +1)?

und für [mm] e^C [/mm] kann ich doch C alleine stehen lassen? Die Aufgabe soll ohne Fallunterscheidung lösbar sein

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Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Fr 15.05.2009
Autor: MathePower

Hallo skippy09,

> wie komme ich damit auf die Form y(x) = x exp(-x/2 +1)?
>  
> und für [mm]e^C[/mm] kann ich doch C alleine stehen lassen? Die
> Aufgabe soll ohne Fallunterscheidung lösbar sein


Gut, löse diese Gleichung

[mm]1-\ln\left(z\right)=e^{C}*x[/mm] (da [mm] 0 < z < e^{1} [/mm])

nach z auf.

Setze dann  für [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm]

und multipliziere dann die aufgelöste Gleichung mit x durch.


Gruß
MathePower

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

wenn ich 1-ln z [mm] =e^c [/mm] *x nach z auflösen will muss ich doch erst -1 auf beiden Seiten,

dann  steht da

- ln z = e^(c * x) -1  |e

1/z = e^(c+x) -e |*-1

z = 1/e^(c+x) -1/e |z ersetzen |*x

y = x/e^(c+x) -x/e ????



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Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Fr 15.05.2009
Autor: MathePower

Hallo skippy09,

> wenn ich 1-ln z [mm]=e^c[/mm] *x nach z auflösen will muss ich doch
> erst -1 auf beiden Seiten,
>
> dann  steht da
>  
> - ln z = e^(c * x) -1  |e


Die Gleichung lautet dann:

[mm]-\ln\left(z\right)=e^{C}*x-1[/mm]


>  
> 1/z = e^(c+x) -e |*-1


[mm]\bruch{1}{z}=e^{e^{C}*x-1}[/mm]


>  
> z = 1/e^(c+x) -1/e |z ersetzen |*x


[mm]z=\bruch{1}{e^{e^{C}*x-1}}=e^{1-e^{C}*x}[/mm]


>  
> y = x/e^(c+x) -x/e ????
>  
>  


Und [mm]z=\bruch{y}{x}[/mm] führt dann auf

[mm]y\left(x\right)=x*e^{1-e^{C}*x}[/mm]

Die Konstante C ist noch zu bestimmen.


Gruß
MathePower

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Fr 15.05.2009
Autor: skippy09

diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen?

$ [mm] z=\bruch{1}{e^{e^{C}\cdot{}x-1}}=e^{1-e^{C}\cdot{}x} [/mm] $

wenn ich die AW einsetze erhalte ich

2=2 * [mm] e^{1-e^c *2} [/mm]  wie kann ich da nach C auflösen? So wie ich es versucht habe müsste ich für c zu bekommen auf der andren Seite der Gleichung ln 0 ausführen, aber das geht ja nicht

Bezug
                                                                                        
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Problem bei Lösung einer DGL: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Fr 15.05.2009
Autor: weightgainer

Hallo skippy09,

ich verstehe das so, als wären das zwei Fragen:

1. Warum gilt

>  
> [mm]z=\bruch{1}{e^{e^{C}\cdot{}x-1}}=e^{1-e^{C}\cdot{}x}[/mm]
>  

???
Bestimmt vernebelt hier das komplexe Denken den Blick für das Einfache:

Einfaches Beispiel: [mm] \bruch{1}{a^{2}} [/mm] = [mm] a^{-2} [/mm]
Etwas komplizierter: [mm] \bruch{1}{a^{2-x}} [/mm] = [mm] a^{-(2-x)} [/mm] = [mm] a^{x-2} [/mm]

2. Wie rechne ich c aus?

> wenn ich die AW einsetze erhalte ich
>  
> 2=2 * [mm]e^{1-e^c *2}[/mm]  wie kann ich da nach C auflösen? So wie
> ich es versucht habe müsste ich für c zu bekommen auf der
> andren Seite der Gleichung ln 0 ausführen, aber das geht ja
> nicht

Auch hier sind es vermutlich nur Flüchtigkeitsfehler, weil es nur noch um einfaches rechnen geht:

2=2 * [mm]e^{1-e^{c} *2}[/mm] |:2
1 = [mm]e^{1-e^{c} *2}[/mm]  | ln
0 = [mm] 1-e^{c} [/mm] *2 | + [mm] e^{c} [/mm] *2
[mm] e^{c} [/mm] *2 = 1 | :2
[mm] e^{c} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | ln
c = - ln(2)

[Hinweis: Ich habe die Aufgabe nicht vollständig durchdacht, sondern mich nur auf diese zwei Detailfragen konzentriert, deswegen habe ich evtl. den Faktor 2 bei c*2 falsch interpretiert - aber das ändert am Prinzip der Rechnung nichts.]

Ich hoffe, ich habe die Fragen richtig verstanden... :-)

Gruß,
weightgainer

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Problem bei Lösung einer DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Sa 16.05.2009
Autor: skippy09

ok, das habe ich jetzt verstanden! nur ich will die lösung in oben geschriebener Form haben und darauf komm ich leider nicht

Bezug
                                                                                                        
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Problem bei Lösung einer DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mo 18.05.2009
Autor: fred97

Du hast doch

            

$ [mm] y\left(x\right)=x\cdot{}e^{1-e^{C}\cdot{}x} [/mm] $

und aus y(2) = 2 folgt [mm] $e^C [/mm] = 1/2$

Wo ist das Problem ?

FRED

Bezug
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