Problem mit Unterräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
ich habe folgende Frage:
Sagen wir, wir hätten den Vektorraum in [mm] \IR^4
[/mm]
Und ich hätte nur 3 Vektoren und soll den Unterraum bestimmen, welcher durch die 3 Vektoren beschrieben wird.
Ich merke nach einigen Rechnungen, dass 2 der 3 Vektoren linear abhängig sind. Ich streiche einen der beiden linear abhängigen Vektoren und habe also noch 2 lin unabhängige Vektoren.
Als Aufgabenstellung soll ich die Dimension von diesem Unterraum bestimmen. Kann ich, wenn ich weniger Vektoren habe als die Dimension des Vektorraums ist, bzw. weniger elemente hat als die Basis des Vektorraums, kann ich dann keinen eindeutigen Schluss auf die dim des unterraums bestimmen?
Mir wurde gesagt, dass ich so viele Vektoren bräuchte als Ausgangspunkt für einen Unterraum, wie es Elemente in der Basis des Vektorraumes gibt. Ansonsten gäbe es ja noch die Möglichkeit, dass noch weitere Vektoren linear unabhängig zu denen sind die ich schon bestimmt habe.
Also kurz und knapp:
Es gilt dim V = n (wobei V der Vektorraum darstellt) und ich habe zur Erzeugung des Unterraums <n Vektoren. Kann ich dann keine Entscheidung über die Dimension des Unterraums fällen, da ich zu Begin keine n vektoren hatte?
Wäre schön wenn jemand drauf antworten könnte.
MfG Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 06.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich denke das Porblem hat sich durch meine andere Antwort jetzt gelöst, oder?
Also: Die Dimension eines Unterraumes lässt sich immer eindeutig bestimmen. Man nimmt sich ein Erzeugendensystem und reduziert es so lange, bis es linear unabhängig ist. Dann hat man eine Basis. Die Mächtigkeit der Basis ist die Dimension.
Vektoren, die gar nicht im Unterraum liegen, spielen keine Rolle.
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 06.02.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
am besten ist es wenn du die Vektoren angibst dann können wir dir noch spezieller helfen.
Naja aber so wie ich das sehe hast du drei Vektoren, die wie folgt aussehen [mm] \vektor{w\\x \\ y \\ z}.
[/mm]
Daraus hast du jetzt ein homogenes LGS geformt und 2 Nullzeilen rausbekommen [mm] \gdw [/mm] 2 der 3 Vektoren sind linear unabhängig.
So diese 3 Vektoren kannst du ja auf jedenfall als ein Erzeugendensystem auffassen. Und wenn du so wie du richtig gesagt hast den einen Vektor streichst und das Erzeugendensystem minimal im Sinne von linear unabhängig machst bekommst du eine Basis mit 2 Vektoren. Und was wissen wir über Basen die 2 Vektoren haben? Sie spannen eine Ebene auf, also einen Unterraum der Dimension 2.
Jetzt kannst du das ganze noch mit dem Unterraumkriterium unterstreichen und fertig ist die Aufgabe.
> Als Aufgabenstellung soll ich die Dimension von diesem
> Unterraum bestimmen. Kann ich, wenn ich weniger Vektoren
> habe als die Dimension des Vektorraums ist, bzw. weniger
> elemente hat als die Basis des Vektorraums, kann ich dann
> keinen eindeutigen Schluss auf die dim des unterraums
> bestimmen?
Ähm sonst würde die Aufgabe ja irgendwie keinen Sinn machen oder?
> Mir wurde gesagt, dass ich so viele Vektoren bräuchte als
> Ausgangspunkt für einen Unterraum, wie es Elemente in der
> Basis des Vektorraumes gibt. Ansonsten gäbe es ja noch die
> Möglichkeit, dass noch weitere Vektoren linear unabhängig
> zu denen sind die ich schon bestimmt habe.
Mhh zu den beiden linear unabhängigen Vektoren wirst du auf jeden Fall noch noch weitere linear unabhängige Vektoren finden. Die beiden sind doch immernoch 4 dimensional und zu 2 4-dimensionalen lin. unabh. Vektoren kannst du also noch 2 lin. unabh. Vektoren finden. (nach Steinitz)
Aber du sollst ja die Dimension des Unterraumes bestimmen den dir die 3 Vektoren vorgeben und nicht alle aus [mm] \IR^4. [/mm]
Da du also nur 2 linear unabhängige Vektoren hast => Ebene => 2dimensional.
Stell dir solche Sachen am besten im [mm] \IR^3 [/mm] vor dann ist es etwas anschaulicher. Hier wäre es irgeneine Ebene, die auf jeden Fall durch den Ursprung geht da es keinen Stützvektor gibt (Schulmathematik 12. Klasse). Nun ja muss ja auch durch den Ursprung gehen damit der Nullvektor drin liegt und das ist ein Teil des Unterraumkriteriums.
> Also kurz und knapp:
>
> Es gilt dim V = n (wobei V der Vektorraum darstellt) und
> ich habe zur Erzeugung des Unterraums <n Vektoren. Kann ich
> dann keine Entscheidung über die Dimension des Unterraums
> fällen, da ich zu Begin keine n vektoren hatte?
Ja
> Wäre schön wenn jemand drauf antworten könnte.
Dafür gibt es doch die Gemeinschaft hier. Also ich bin mir zu 99,9% sicher dass dies auch als Antwort richtig wäre. Da ich aber grade selber erst mit dem Studium begonnen habe und mit den Unterräumen auch schon kämpfe ausgefochten habe kommt es hier nur als Mitteilung. Aber ich denke hier gibts nicht viel anzufügen oder?
MFG Shaguar
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Danke euch beiden für die schnelle Antwort und ich glaube, dass ich das alles so langsam geschnallt habe.
Bis zur nächsten Frage,
Andi
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