Probleme bei biquadratischen Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 So 27.06.2004 | | Autor: | Rambo |
Hallo,also ich muss für morgen ein referat halten und hab Probleme bei folgenden Azfgaben,ich weiß nicht wie sie zu lösen sind,bitte helft mir!
a) (x²-14)² = 5(6x²-49)
b) (x²+25)² = 111 x²-275
c) (6x²-11)(6x²+11) = 5(101x²-181)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 So 27.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hallo Rambo,
so schwer sind die Aufgaben gar nicht. Mit ein bißchen mehr Willen wärst du auch von ganz alleine auf die Lösungen gekommen. 
> a) (x²-14)² = 5(6x²-49)
auf beiden Seiten erstmal die Klammern auflösen:
[mm] (x^2-14)^2 [/mm] ist eine normale binomische Formel, also ergibt sich:
[mm] x^4-28x^2+196=30x^2-245
[/mm]
so, nun alles auf eine Seite bringen:
[mm] x^4 -58x^2+441=0
[/mm]
nun, substituiert (ersetzt) man [mm] z=x^2:
[/mm]
[mm] z^2-58z+441=0
[/mm]
und nun kann man die normale Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Form [mm] x^2+px+q=0 [/mm] anwenden [mm] (x_1_,_2=-p/2+-[/mm] [mm]\wurzel{(p/2)^2-q}[/mm] :
das kannst du alleine machen
dann kommst du auf:
[mm] z_1 [/mm] = 49 und [mm] z_2 [/mm] = 9
und nun musst du wieder zurücksubstituieren:
für [mm] z_1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] = 49 ist also [mm] x_1 [/mm] = 7 und [mm] x_2 [/mm] = -7
für [mm] z_2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] = 9 ist also [mm] x_3 [/mm] = 3 und [mm] x_4 [/mm] = -3
> b) (x²+25)² = 111 x²-275
auch hier wieder zuerst die Klammern auflösen:
[mm] x^4+50x^2+625=111x^2-275
[/mm]
alles wieder auf eine Seite bringen:
[mm] x^4-61x^2+900=0
[/mm]
wieder substituieren: [mm] z=x^2
[/mm]
[mm] z^2-61z+900=0
[/mm]
wieder die normale Lösungsformel anwenden (findest du in jedem Tafelwerk). Das überlasse ich wieder dir
und dann kommst du auf
[mm] z_1 [/mm] = 36 und [mm] z_2 [/mm] = 25
und nun auch wieder zurücksubstituieren:
für [mm] z_1 [/mm] = 36 = [mm] x^2 [/mm] kommst du also auf [mm] x_1 [/mm] = 6 und [mm] x_2 [/mm] = -6
für [mm] z_2 [/mm] = 25 = [mm] x^2 [/mm] kommst du also auf [mm] x_3 [/mm] = 5 und [mm] x_4 [/mm] = -5
> c) (6x²-11)(6x²+11) = 5(101x²-181)
auch hier wieder zuerst die Klammern auflösen (der linke Term ist eine binomische Formel [mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] ):
[mm] 36x^4-121 [/mm] = [mm] 505x^2-905
[/mm]
alles wieder auf eine Seite bringen:
[mm] 36x^4-505x^2+784=0
[/mm]
den Faktor vor [mm] x^4 [/mm] "wegbekommen" (also die ganze Gleichung durch 36 teilen):
[mm] x^4-505/36x^2+196/9=0
[/mm]
ja, genau, wieder substituieren: [mm] z=x^2
[/mm]
[mm] z^2-505/36z+196/9=0
[/mm]
wieder die Lösungsformel anwenden. Das kannst du auch wieder selber machen (kleiner Tip: lass immer die Brüche stehen. Selbst wenn du sowas nachher hast [mm] (505/72)^2, [/mm] dann bearbeite Nenner und Zähler einzeln: 255025/5184 und die 196/9 musst du nun auf den gemeinsamen Hauptnenner bringen, dann steht nämlich zum Schluss unter der Wurzel 142129/5184 und daraus kann man jeweils einzeln aus Nenner und Zähler die Wurzel ziehen.
Dann kann man nämlich [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] und damit alle x ganz genau bestimmen!! )
also kommst du zum Schluss:
[mm] z_1 [/mm] = 49/4 und [mm] z_2 [/mm] = 16/9
und, ja, genau, wie immer, wieder zurücksubstituieren:
für [mm] z_1 [/mm] = 49/4 = [mm] x^2 [/mm] bekommst du als Lösung [mm] x_1 [/mm] = 7/2 und [mm] x_2 [/mm] = - 7/2
für [mm] z_2 [/mm] = 16/9 = [mm] x^2 [/mm] bekommst du als Lösung [mm] x_3 [/mm] = 4/3 und [mm] x_4 [/mm] = - 4/3
So, na denn, viel Erfolg im Vortrag.
Liebe Grüße Dana
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