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| Aufgabe 1 | 1. Welches geometrische Gebilde wird durch die Funktion [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + 5 = 0 im R2 (also zweidimensionalen) und im R3 (also dreidimensionalen) dargestellt?
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| Aufgabe 2 | 2. Gegeben ist die Funktion [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + 5 = 0.
Geben sie die HNF dieser Ebene an!
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| Aufgabe 3 | 3. Geben sie die Parameterform dieser Ebene an!
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| Aufgabe 4 | 4. Welchen Abstand hat diese Ebene von Frage 2 vom Ursprung des Koordinatensystems?
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| Aufgabe 5 | 5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2 berührt.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo zusammen.
Ich sitze hier seit Tagen vor einer analytischen Geometrie-Aufgabe und ich versteh einfach nix.
Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. Ich wär ihm oder ihr sehr dankbar. :)
Also hier die Aufgaben:
1. Welches geometrische Gebilde wird durch die Funktion [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + 5 = 0 im R2 (also zweidimensionalen) und im R3 (also dreidimensionalen) dargestellt?
2. Gegeben ist die Funktion [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + 5 = 0.
Geben sie die HNF dieser Ebene an!
3. Geben sie die Parameterform dieser Ebene an!
4. Welchen Abstand hat diese Ebene von Frage 2 vom Ursprung des Koordinatensystems?
5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2 berührt.
Schon mal vielen vielen Dank im Vorraus.
lg
Spaceball
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Do 25.05.2006 | | Autor: | riwe |
das ist aber sehr elementar, also solltest du zumindest deine vorstellungen dazu einbringen, welche vermutungen hast du denn zu frage 1? weißt du, was HNF und parameterform sind, usw.?
was macht ihr denn gerade in mathe?
werner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Do 25.05.2006 | | Autor: | spaceball |
Eine Vorstellung habe ich natürlich: Bei Frage eins dürfte es im R2 eine simple Gerade sein. Allerdings bei der Vorstellung, was es im R3 ist scheiterts bei mir schon.
Auch weiß ich eigentlich, was eine Parameterform etc. ist, aber wie man die z.B. umrechnet (z.B. Parameter- in Normalerform), da bin ich schon überfragt.
Deshalb hatte ich gehofft dass ich hier ein paar Denkanstöße oder nen guten lösungsweg oder so was finden könnte...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Do 25.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo zusammen.
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Moin moin.
Zunächst einmal möchte ich dich bitten, nicht hundert Mal die selbe Frage in den selben Strang hineinzukopieren. Einmal reicht 
> Ich sitze hier seit Tagen vor einer analytischen
> Geometrie-Aufgabe und ich versteh einfach nix.
>
> Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. Ich wär ihm oder
> ihr sehr dankbar. :)
>
> Also hier die Aufgaben:
>
> 1. Welches geometrische Gebilde wird durch die Funktion
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + 5 = 0 im R2 (also zweidimensionalen) und im
> R3 (also dreidimensionalen) dargestellt?
Das mit der Gerade im 2D-Bereich sehe ich genauso.
Und im dreidimensionellen ist das nichts weiter als:
[mm] $1x_1+1x_2+0x_3+5=0$
[/mm]
Das sieht sehr nach einer Ebenengleichung in Koordinatenform aus.
> 2. Gegeben ist die Funktion [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + 5 = 0.
> Geben sie die HNF dieser Ebene an!
Für die Hessesche Normalenform brauchst du den Normalenvektor, den du ablesen kannst [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1}, [/mm] zusätzlich muss dieser normiert sein, das heißt auf die Länge eins gebracht werden.
Die HNF lautet ja so:
[mm] d=$|(\vec{r}-\vec{p})|*\vec{n_0}$ [/mm]
Vektor P ist dabei ein Punkt auf/in der Ebene.
Und Vektor [mm] n_0 [/mm] = [mm] \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}
[/mm]
Ein Punkt auf der Ebene:
[mm] $x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} +x_{3} [/mm] + 5=0$
Ist z. B. A(0|0|-5)
Ist dir das klar, warum? Ansonsten frag noch einmal nach!
Naja, und das ist nun unser Vektor p.
Kannst du sie damit aufstellen?
> 3. Geben sie die Parameterform dieser Ebene an!
Dann such dir am besten noch zwei weitere Punkte auf der Ebene.
Diese lauten z. B. B(-5|0|0) C(0|-5|0)
Du hast nun drei Punkte, durch die du die Parameterform aufstellen kannst.
(Es gibt allerdings auch noch andere, von mir unfavorisierte, Möglichkeiten, das umzuwandeln.)
> 4. Welchen Abstand hat diese Ebene von Frage 2 vom Ursprung
> des Koordinatensystems?
Da musst du den Punkt O(0|0|0) (als Vektor r) in die HNF aus Frage 2 einsetzen und gucken, was für d, unseren Abstand, herauskommt. Irre ich mich jetzt? Da muss eigentlich '5' herauskommen (ohne Gewähr!) .
> 5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die
> durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2
> berührt.
Der Mittelpunkt der Kugel ist der Ursprung und der Radius der Abstand der Ebene zum Ursprung. Fertig 
Edit: Wenn ich die Aufgabe mal richtig gelesen hätte.
>
> Schon mal vielen vielen Dank im Vorraus.
Zeig uns doch bitte deine Lösungen oder Zwischenschritte, wenn wir deine Ergebnisse überprüfen sollen.
>
> lg
> Spaceball
Mit freundlichen Grüßen,
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Do 25.05.2006 | | Autor: | spaceball |
OK.
Schon mal vielen vielen Dank.
Ich versuch gleich mal, mit den Infos zu arbeiten. Mal schaun was draus wird.. ;)
Wenns nix wird, dürft ihr euch schon mal auf ein paar weitere dumme Fragen vorbereiten.. *g*
Also nochmal Dankeschön!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 So 28.05.2006 | | Autor: | spaceball |
Kann mir vielleicht bitte nochmal jemand des mit der Hessesche Normalenform erklären?
Ich steig da überhaupt nicht durch.
WEnn ich die Koordinatenform hab:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + 5 = 0
Der Normalenvektor heißt dann [mm] \vec{n} [/mm] = (1|1|1)
Und wie mach ich dann da weiter? Und warum?
Dankeschön schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 28.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hey.
> Kann mir vielleicht bitte nochmal jemand des mit der
> Hessesche Normalenform erklären?
>
> Ich steig da überhaupt nicht durch.
>
> WEnn ich die Koordinatenform hab:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + 5 = 0
>
> Der Normalenvektor heißt dann [mm]\vec{n}[/mm] = (1|1|1)
>
> Und wie mach ich dann da weiter? Und warum?
Was ist denn unverständlich an der Antwort:
<zitat>
Für die Hessesche Normalenform brauchst du den Normalenvektor, den du ablesen kannst $ [mm] \vec{n} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1\\1\\1}, [/mm] $ zusätzlich muss dieser normiert sein, das heißt auf die Länge eins gebracht werden.
Die HNF lautet ja so:
d=$ [mm] |(\vec{r}-\vec{p})|\cdot{}\vec{n_0} [/mm] $
Vektor P ist dabei ein Punkt auf/in der Ebene.
Und Vektor $ [mm] n_0 [/mm] $ = $ [mm] \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} [/mm] $
Ein Punkt auf der Ebene:
$ [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} +x_{3} [/mm] + 5=0 $
Ist z. B. A(0|0|-5)
Ist dir das klar, warum? Ansonsten frag noch einmal nach!
Naja, und das ist nun unser Vektor p.
Kannst du sie damit aufstellen?
</zitat>
$E: [mm] [\vec{x}-\vektor{0\\0\\-5}]*\br{\vektor{1\\1\\1}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$
[/mm]
> Warum?
Du benötigst einen Punkt, der in der Ebenengleichung liegt und ebenfalls einen Normalenvektor der Ebene. Diesen muss man bei der HNF noch entsprechend auf die Länge eins bringen, weil man ja SOFORT ein entsprechendes 'd' herausbekommen möchte.
Eine entsprechende Herleitung (falls du das mit "warum" meintest) findest du auf ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)]
> Dankeschön schonmal
Gruß
Disap
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> > 5. Geben Sie die Gleichung der kleinsten Kugel an, die
> > durch den Ursprung geht und die die Ebene aus Frage 2
> > berührt.
>
> Der Mittelpunkt der Kugel ist der Ursprung und der Radius
> der Abstand der Ebene zum Ursprung. Fertig
Ich hab dazu nochmal ne Frage:
Ist damit nicht gemeint, dass die Kugel den Ursprung und die Ebene berühren? Also dass der Ursprung nicht der Mittelpunkt sondern ein Punkt der Kugel ist?
Wenn dem so wäre: wie würde ich das denn dann bitte rechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Disap |
Oh je, das war ein richtig arger Fehler ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .
Ich entschuldige mich für entstande Verwirrungen. Zum Glück hat Sigrid den Fehler erkannt.
Wie es nun richtig geht, schreibt Sigrid in ihrer Antwort. Danke für den guten Hinweis.
Disap
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Dann hab ich den Mittelpunkt.
Kann ich den dann in die Kugelgleichung ( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{m} )^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
einsetzen?
Oder wie muss ich das dann rechnen, denn es ist ja nach der Kugelgleichung gefragt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Dann hab ich den Mittelpunkt.
genau!
> Kann ich den dann in die Kugelgleichung ( [mm]\vec{x}[/mm] -
> [mm]\vec{m} )^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> einsetzen?
Genau, du musst ihn nur einsetzen - genau wie den Radius: [mm] \vec{m} [/mm] und [mm] r^2 [/mm]
> Oder wie muss ich das dann rechnen, denn es ist ja nach der
> Kugelgleichung gefragt?
LG
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 30.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo spaceball,
Disap hat dir ja einen Lösungsweg angegeben, wie du an den Mittelpunkt der Kugel kommst. Allerdings musst du bei diesem Lösungsweg aufpassen, in welche Rchtung der Normalenvektor zeigt. Bei deiner Ebene zeigt der Normalenvektor $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ von der Ebene in Richtung Ursprung, du brauchst aber den Vektor in die entegegegesetzte Richtung.
Außerdem musst du den Radius mit dem Normaleneinheitsvektor multiplizieren.
Der Ortsvektor des Mittelpunktes ist:
$ [mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2\wurzel{3}} \cdot \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1\\-1\\-1} [/mm] $
Eine andere Methode, an den Mittelpunkt zu kommen, ist die folgende:
Du hast ja die Gleichung des Lotes vom Ursprung mit der Ebene : $ [mm] g:\vec{x}= \vektor{0\\0\\0}+r \vektor{1\\1\\1} [/mm] $
Jetzt berechnest du den Schnittpunkt S des Lotes mit der Ebene.
Der Mittelpunkt der Kugel ist dann der Mittelpunkt der Strecke $ [mm] \overline{OS} [/mm] $.
Dieses Verfahren ist sicherer, da du dich nicht mit der Orientierung des Normalenvektors herumschlagen musst.
Gruß
Sigrid
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