Probleme mit GF(3) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Janyary |
Hallo ihr Lieben :)
Ich habe grosse Probleme mit dem Umrechnen von Elementen in die speziellen GF(..)s. Als Bsp. der GF(3), ich weiss, das ist ein Koerper, der nur die Elemente 0,1,2 enthaelt. Ich weiss auch wie ich positive ganzzahlige Zahlen in die einzelnen GFs umzurechnen hab. also, dass z.b. 4=1 im GF(3) ist.
Ich hab allerdings nicht wirklich verstanden wie das mit negativen ganzzahligen Werten funktioniert, bzw. mit bruechen.
Wir hatten ein Bsp. in dem stand, dass -2 im GF(3) 1 ist. allerdings war nicht erklaert wie man darauf kommt.
Koennte mir vielleicht jemand erklaeren wie das funktioniert auch mit dem umrechnen von Bruechen, also was ist z.b. [mm] \bruch{1}{4} [/mm] im GF(3)?
Bitte helft mir.
Liebe Gruesse,
Janyary :)
PS: und natuerlich frohe ostern!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Janyary
Du musst dir erst mal klar machen, was -2 für ganze Zahlen bedeutet: -2 ist das additive Inverse zu 2, also definiert durch 2+(-2)=0 wenn du das inverse zu 2 in GF(3) finden willst musst du also die Gleichung 2+(inv(2))=0 lösen und da du weisst, dass 2+1=0 ist ist 1 das additive Inverse von 2! damit auch 2 das additive Inverse von 1. Wenn man jetzt die Schreibweise -2 für das Inverse beibehält ist also -2=1 und -1=2. Nimm nun GF(5) und bestimm alle additiven Inversen von 0,1,2,3,4 (Kontrolle :-3=2)
Entsprechend ist das mit den Brüchen; 1/2 ist das multiplikative Inverse zu 2, d.h. [mm] 2*inv_{m}(2)=1 [/mm] da du weisst, dass 2*2=4=1 ist ist 2 zu sich selbst invers. 1/4 ist nicht sinnvoll, da ja 4=1 also 4*1/4=1 also 1*1/4=1 also
1/4=1 natürlich hat 0=3 kein [mm] Inv_{m}.
[/mm]
Versuch auch das mit GF(5) oder GF(7) in GF(5) ist [mm] inv_{m}(3)=2 [/mm] in GF(7) ist [mm] inv_{m}(3)=5 [/mm] oder 1/3=5 allerdings ist die Idee dass 1/3 1 geteilt durch 3 ist dabei abwegig, und 1/3 ist nur eine manchmal übliche Schreibweise für [mm] inv_{m}(3)
[/mm]
Beim Rechnen z.Bsp. mit Gleichungen vermeidet man am besten das dividieren, und multipliziert lieber mit dem Inversen, bzw addiert das Inverse!
Beispiel: Löse 3x+2=5 in Gf(7)
3x+2=5 | + [mm] inv_{+}(2) [/mm] (=5)
3x=10
3x=3 | [mm] *inv_{m}(3) [/mm] (=5)
x=1
Versuchs mit :3x+6=3 in GF(7)
Damit verdienst du dir dein Osterei!
Frohe Ostern!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Polynome [mm] \mu, \nu, [/mm] so dass gilt:
[mm] (X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X)=(2X^{2}+X+1)*\mu+\nu [/mm] |
und ich nochmal, vielen dank erstmal fuer die schnelle antwort. die erklaerung war sehr gut und ich konnte mich gleich dem eigentlichen problem stellen. und zwar lautete unsere urspruengliche aufgabe, wie oben gestellt.
hab die gleichung nun umgestellt nach:
[mm] (X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X):(2X^{2}+X+1)=\mu+\nu
[/mm]
und dann im GF(3) geloest.
[mm] (X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X):(2X^{2}+X+1)=2X^{4}+2X^{3}+2X+1
[/mm]
[mm] -\underline{(X^{6}+2X^{5}+2X^{4})}
[/mm]
[mm] -2X^{5}-X^{4}+X^{2}+2X
[/mm]
[mm] -\underline{(X^{5}+2X^{4}+2X^{3})}
[/mm]
[mm] -3X^{5}-3X^{4}-2X^{3}+X^{2}+2X [/mm] -3=0 im GF(3)
[mm] -2X^{3}+X^{2}+2X [/mm]
[mm] -\underline{(X^{3}+2X^{2}+2X)}
[/mm]
[mm] -3X^{3}-X^{2} [/mm] -1=2 im GF(3)
[mm] 2X^{2}
[/mm]
[mm] -\underline{(2X^{2}+X+1)}
[/mm]
-X-1
2X+2
demzufolge ist [mm] \mu=2X^{4}+2X^{3}+2X+1 [/mm] und [mm] \nu=2X+2
[/mm]
Koennte bitte jemand durchschaun ob ich die Aufgabe richtig geloest habe?
LG Jany :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Fr 14.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jany
> Bestimmen Sie Polynome [mm]\mu, \nu,[/mm] so dass gilt:
>
> [mm](X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X)=(2X^{2}+X+1)*\mu+\nu[/mm]
> und ich
> hab die gleichung nun umgestellt nach:
>
> [mm](X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X):(2X^{2}+X+1)=\mu+\nu[/mm]
eigentlich:
[mm](X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X):(2X^{2}+X+1)=\mu+\nu/(2X^{2}+X+1)[/mm]
> und dann im GF(3) geloest.
>
> [mm](X^{6}+ X^{4}+ X^{2}+2X):(2X^{2}+X+1)=2X^{4}+2X^{3}+2X+1[/mm]
>
> [mm]-\underline{(X^{6}+2X^{5}+2X^{4})}[/mm]
> [mm]-2X^{5}-X^{4}+X^{2}+2X[/mm]
> [mm]-\underline{(X^{5}+2X^{4}+2X^{3})}[/mm]
> [mm]-3X^{5}-3X^{4}-2X^{3}+X^{2}+2X[/mm]
> -3=0 im GF(3)
> [mm]-2X^{3}+X^{2}+2X[/mm]
> [mm]-\underline{(X^{3}+2X^{2}+2X)}[/mm]
> [mm]-3X^{3}-X^{2}[/mm] -1=2 im
> GF(3)
> [mm]2X^{2}[/mm]
> [mm]-\underline{(2X^{2}+X+1)}[/mm]
> -X-1
> 2X+2
>
> demzufolge ist [mm]\mu=2X^{4}+2X^{3}+2X+1[/mm] und [mm]\nu=2X+2[/mm]
Sieht für mich alles r aus! (ausser der Gl. oben) Schnell gelernt!
Das einfachste ist immer am Schluss einfach multiplizieren obs stimmt, also Probe.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Janyary |
hi leduart,
vielen dank fuer deine hilfe, hast das aber auch gut erklaert ;)
also wenn ichs ausmultipliziere und den rest dann einfach addiere, kommt das richtige aus. also wirds wohl so einigermassen stimmen.
bis bald!
jany :)
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