Produkt Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 So 01.02.2015 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe 1 | Zeige zuerst durch direkte Rechnung, dann induktiv, dass für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
[mm] (1+\bruch{1}{1})^{1}(1+\bruch{1}{2})^{2}(1+\bruch{1}{3})^{3} [/mm] ... [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}=\bruch{n^{n}}{n!} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeige zuerst durch direkte Rechnung, dann induktiv, dass für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
[mm] (1+\bruch{1}{1})^{2}(1+\bruch{1}{2})^{3}(1+\bruch{1}{3})^{4}...(1+\bruch{1}{n-1})^{n}=\bruch{n^{n}}{(n-1)!} [/mm] |
Ich hänge schon bei der ersten Aufgabe. Ich habe eigentlich nicht wirklich einen brauchbaren Ansatz:
[mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{n}{1} [/mm] * [mm] \bruch{n}{2} [/mm] * [mm] \bruch{n}{3} [/mm] ... [mm] \bruch{n}{n}
[/mm]
Das bringt mich jetzt aber überhaupt nicht weiter. Mehr Möglichkeiten, den Term umzuformen, fallen mir nicht ein. Auch beim Induktionsansatz komme ich nicht weit.
Induktionsanfang für n = 2:
[mm] (1+\bruch{1}{1}) [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{2!} \Rightarrow [/mm] 2 = 2
Induktion: n [mm] \Rightarrow [/mm] n + 1:
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] + [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Aber wie komme ich da weiter? Ich stehe so auf dem Schlauch bei dieser Aufgabe... Danke für jegliche Hilfe / jeden Hinweis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 So 01.02.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo,
mache dir zunächst klar, dass die einzelnen Klammern (ohne die Exponenten) die werte 2/1, 3/2, 4/3, 5/4 ... haben.
Jetzt mit Exponenten:
In [mm] $(2/1)*(3/2)^2$ [/mm] kürzt sich eine 2, übrig bleibt (3²/2). Multipliziert man das mit [mm] $(4/3)^3$, [/mm] dann kürzen sich zwei Dreien, übrig bleibt [mm] $\frac{4^3}{2*3}$. [/mm] Multipliziert man das mit [mm] $(5/4)^4$, [/mm] dann kürzen sich drei Vieren, übrig bleibt [mm] $\frac{5^4}{2*3*4}$ [/mm] usw.
PS: Deinen Induktionsversuch musst du überarbeiten. Neben deinen typischen Verfahrensfehlern (wo steht die Induktionsvoraussetzung?) addierst du da etwas dazu, obwohl doch ein neuer FAKTOR dazukommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 So 01.02.2015 | | Autor: | Jodocus |
Tipp: Binomischer Lehrsatz, den Rest schaffst du.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mo 02.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Tatsächlich habe ich es mit dem binomischen Lehrsatz versucht, damit kam ich aber nicht weiter. Gibt es auch eine Beweismöglichkeit über den binomischen Satz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Mo 02.02.2015 | | Autor: | Jodocus |
IA: geschenkt
IV: [mm]\prod\limits_{i=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{i}\right)^i = \frac{n^n}{n!}[/mm]
IS (n -> n+1): [mm]\prod\limits_{i=1}^{n}\left(1+\frac{1}{i}\right)^i = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\prod\limits_{i=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{i}\right)^i\overset{IV}{=}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\frac{n^n}{n!}=\frac{n^n}{n!}\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{n-k}}=\frac{1}{n!}\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}n^k=\frac{(1+n)^n}{n!}=\frac{1+n}{1+n}\frac{(1+n)^n}{n!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}[/mm]
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mo 02.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Danke für den Beweis mittels binomischem Lehrsatz!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mo 02.02.2015 | | Autor: | sandroid |
Meine Lösung zur ersten Aufgabe sieht nun so aus:
Zeige Aussage für n = 2 (Induktionsanfang):
[mm] (1+\bruch{1}{1})^{1} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{2})^{2} [/mm] * ... * [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{1})^{1} [/mm] = 2 = [mm] \bruch{2^{2}}{2!} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{n!}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: Aussage gillt für beliebiges [mm] n\ge2. [/mm] Dann gillt die Aussage auch für n+1. Beweis:
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{n+1} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{1})^{1}*(1+\bruch{1}{2})^{2}*...*(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{2}{1})^{1}*(\bruch{3}{2})^{2}*...*(\bruch{n+1}{n})^{n}=(\bruch{1}{1})*(\bruch{1}{2})*...*\bruch{(n+1)^{n}}{n}=\bruch{(n+1)^{n}}{n!}=\bruch{(n+1)(n+1)^{n}}{n!(n+1)}=\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}
[/mm]
Das Prinzip der ersten Aufgabe habe ich nun verstanden, aber ist meine Beweisführung nun auch formal korrekt? An die zweite Aufgabe werde ich mich morgen machen, hoffentlich lässt sie sich ähnlich lösen.
Vielen Dank für den wertvollen Hinweis mit dem Kürzen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mo 02.02.2015 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
dein Beweis ist formal nicht gut. 1. n=1 da darf nicht am Ende wieder n^n/n! stehen sondern einfach 2
2. nicht die Aussage gilt, sondern
Ind Vors für n gilt: jetzt die Formel hinschreiben
Indbehauptung wieder Formel hinschreiben
Beweis: linke Seite hinschreiben, also 2*(3/2)^2+....(n/n-1)^{n-1}^n*((n+1)/n}^n
nach Ind. Vors gilt :=n^n/n!*((n+1)/n}^n= n^n/n^n * ( n+1)^n/n!=... erweitern mit n+1 ergibt die Behaoptung.
wie du es ezeigt hast.
Dein Fehler, du sagst nicht, wo du die Ind Vors benutzt hast, sondern schreibst die Behauptung auf und formst sie um.
(oft muss man das machen, um zusehen wie es geht, aber der Beweis läuft dann andersrum )
also im Grunde hast du schon richtig gerechnet, nur die Reihenfolge vertauschen und deutlich sagen, wo du die Vors. benutzt
Gruß leduart
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