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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich habe folgende Aufgabe und ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll:
[mm] \Delta [/mm] = Großes Omega = Grundraum
P=Potenzmenge
Ich hab das irgendwie nicht mit den Skript Buchstaben und Indizes hinbekommen.
Seien [mm] \Delta_1 [/mm] und [mm] \Delta_2 [/mm] höchstens abzählbar. Seien [mm] A_1 [/mm] = [mm] P(\Delta_{1}) [/mm] und [mm] A_{2}= P(\Delta_{2}) [/mm] die Sigma-Algebren. Ich soll nun [mm] A_1 \times A_{2}= P(\Delta_{1} \times \Delta_{2}) [/mm] zeigen.
So, erste Sache: Verständnis:
[mm] A_1 \times A_{2}= \{(a,b) | a\in A_1 \wedge b\in A_2 \}
[/mm]
(a,b) ist doch hier das geordnete Paar, also wäre
angenommen [mm] \Delta_1= \{1,2 \} [/mm] und [mm] \Delta_2= \{3 \}
[/mm]
[mm] \Delta_{1} \times \Delta_{2}= \{(1,3),(2,3) \}= \{ \{1\},\{1,3\}, \{2\}, \{2,3\} \}. [/mm] Und wenn ich hier von die Potenzmenge bilde, kommt natürlich {1,2,3} und {3} als Teilmengen dazu.
Ich verstehe ja, das das so sein muss, aber ich zum Beweis und Unformen reichts nicht.
1.) z.z. x [mm] \in A_1 \times A_{2} \Rightarrow [/mm] x [mm] \in P(\Delta_{1} \times \Delta_{2}) [/mm]
x [mm] \in \{(a,b) | a\in A_1 \wedge b\in A_2 \}
[/mm]
x [mm] \in \{(a,b) | a\in P(\Delta_1) \wedge b\in P(\Delta_2) \}
[/mm]
und schon da hörts auf, ich komme nicht weiter. Sicher muss ich jetzt ausnutzen, dass die A Algebren sind, also [mm] A_1 \times A_2 [/mm] wiederrum eine Algebra (hoffe ich). Und deshalb muss dann Vereinigung und Kompliment von schon "drinne liegenden" drin liegen und schon hat man die Potenzmenge. Aber das mathematisch aufzuschreiben, weiß ich nicht..
Kann mir bitte jemand helfen ?
Danke
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Faenol!
Mir ist völlig schleierhaft, warum dir bei dieser simplen Aufgabe das ganze Wochenende keiner geholfen hat... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Naja, hier die Lösung: Für [mm] $x_1 \in \Delta_1$ [/mm] und [mm] $x_2 \in \Delta_2$ [/mm] gilt:
[mm] $\{(x_1,x_2)\} [/mm] = [mm] (\{x_1\} \times \Delta_2) \cap (\Delta_1 \times \{x_2\}) \in {\cal A}_1 \otimes {\cal A}_2$,
[/mm]
woraus unmittelbar
[mm] ${\cal P}(\Delta_1 \times \Delta_2) \subset {\cal A}_1 \otimes {\cal A}_2$
[/mm]
und daraus die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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