Produkt absolut konvergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:29 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
a) Sei [mm] $\sum_{n\in \IN} a_{n}$ [/mm] eine absolut konvergente Reihe und [mm] $(c_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen. Man beweise, dass die Reihe [mm] $\sum [/mm] _{n [mm] \in \IN} (a_{n} c_{n})$ [/mm] absolut konvergiert.
b) Man finde ein Beispiel einer konvergenten Reihe [mm] $\sum_{n\in \IN} a_{n}$ [/mm] und einer konvergenten Folge [mm] $(c_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] so dass die Reihe [mm] $\sum_{n \in \IN} (a_{n}c_{n})$ [/mm] divergiert. |
Hallo,
a)
[mm] $\sum a_{n}$ [/mm] absolut konvergent bedeutet, dass die Summe der Absolutbeträge also [mm] $\sum |a_{n}|$ [/mm] konvergiert. Es gilt $lim [mm] c_{n} [/mm] = c$ und $lim [mm] a_{n} [/mm] = 0$ .
Da [mm] $c_{n}$ [/mm] konvergent ist, gilt [mm] $|c_{n}- c|\le \delta [/mm] $.
Es folgt für die Teilsummen: [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |a_{n}|+|a_{n+1}|... [/mm] | < [mm] \frac{\epsilon}{\delta} [/mm] \ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$
Und damit : [mm] $|a_{n}c_{n}|+|a_{n+1}c_{n+1}|... [/mm] + |ac| [mm] \le \delta (|a_{n}|+... [/mm] |a| ) [mm] \le \epsilon [/mm] $
damit konvergieren die Absolutbeträge der Partialsummen und [mm] $\sum a_{n}c_{n}$ [/mm] ist absolut konvergent.
b) Wähle [mm] $a_{n}$ [/mm] und [mm] $b_{n}:= \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ [/mm] dann konvergieren beide einzeln aber zusammen in der Reihe nicht!
Ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfe!
Gruss
kushkush
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Guten Morgen,
also so ganz stimmt das nicht
> 1.
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> a) Sei [mm]\sum_{n\in \IN} a_{n}[/mm] eine absolut konvergente
> Reihe und [mm](c_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine konvergente Folge reeller
> Zahlen. Man beweise, dass die Reihe [mm]\sum _{n \in \IN} (a_{n} c_{n})[/mm]
> absolut konvergiert.
>
> b) Man finde ein Beispiel einer konvergenten Reihe
> [mm]\sum_{n\in \IN} a_{n}[/mm] und einer konvergenten Folge
> [mm](c_{n})_{n\in \IN}[/mm] so dass die Reihe [mm]\sum_{n \in \IN} (a_{n}c_{n})[/mm]
> divergiert.
>
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> Hallo,
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> a)
> [mm]\sum a_{n}[/mm] absolut konvergent bedeutet, dass die Summe der
> Absolutbeträge also [mm]\sum |a_{n}|[/mm] konvergiert. Es gilt [mm]lim c_{n} = c[/mm]
> und [mm]lim a_{n} = 0[/mm] .
Das ist erstmal richtig
>
> Da [mm]c_{n}[/mm] konvergent ist, gilt [mm]|c_{n}- c|\le \delta [/mm].
>
> Es folgt für die Teilsummen: [mm]\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \IN : |a_{n}|+|a_{n+1}|... | < \frac{\epsilon}{\delta} \ \forall n \ge N[/mm]
>
Kann man so setzen
> Und damit : [mm]|a_{n}c_{n}|+|a_{n+1}c_{n+1}|... + |ac| \le \delta (|a_{n}|+... |a| ) \le \epsilon[/mm]
Wie du hier auf die Abschätzung kommst, ist mir nicht ersichtlich.
>
> damit konvergieren die Absolutbeträge der Partialsummen
> und [mm]\sum a_{n}c_{n}[/mm] ist absolut konvergent.
>
Fang mal so an: Weil die [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$ [/mm] konvergiert, die Folge eine Cauchy-Folge. Was bedeutet das?
Zweitens: Weil die Folge [mm] $c_{n}$ [/mm] konvergiert, ist sie beschränkt, dass heißt, es existiert ein $M [mm] \geq [/mm] 0 $ mit [mm] $|c_{n}|\leq [/mm] M$
Jetzt versuche Mal, nachzuweisen, dass die Folge [mm] $\sum [/mm] _{n [mm] \in \IN} |(a_{n} c_{n})|$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
>
> b) Wähle [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}:= \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}[/mm]
> dann konvergieren beide einzeln aber zusammen in der Reihe
> nicht!
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Ja das sieht denke ich richtig aus.
Viele Grüße
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> Ist das so richtig?
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> Danke für jegliche Hilfe!
>
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> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Guten Abend,
> beschränkt
Dann verwende ich die Schranke für die Abschätzung:
Sei [mm] $\sum a_{k}$ [/mm] absolut konvergent und [mm] $c_{k}$ [/mm] eine konvergente Folge. Dann ist
[mm] $|c_{n}| [/mm] < M, M [mm] \in \IR^{+}_{0}$ [/mm]
Dann gilt für die Reihe:
[mm] $\forall \epsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : $
[mm] $|a_{n}|+|a_{n+1}|....+|a_{n\rightarrow \infty}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{M} [/mm] \ [mm] \forall n\ge [/mm] N $
Damit folgt:
[mm] $|a_{n}c_{n}| [/mm] + [mm] |a_{n+1}c_{n+1}|... +|a_{n\rightarrow \infty} c_{n\rightarrow \infty}| \le [/mm] M( [mm] |a_{n}|+a_{n+1}|.... |a_{n\rightarrow \infty}|) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
Ist es so richtig?
> Die Folge der absoluten Reihe ist eine Cauchy Folge. Was bedeutet das?
Das bedeutet dass die Abstände zwischen den Folgengliedern nicht beliebig gross werden sondern ab einem bestimmten $N [mm] \in \IN$ [/mm] unendlich viele Glieder der Differenzfolge in eine Epsilon Umgebung passen und endlich viele draussen bleiben!
> Viele GrüBe
Danke!!!
Gruss
kushkush
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> Guten Abend,
>
> > beschränkt
>
> Dann verwende ich die Schranke für die Abschätzung:
>
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> Sei [mm]\sum a_{k}[/mm] absolut konvergent und [mm]c_{k}[/mm] eine
> konvergente Folge. Dann ist
>
> [mm]|c_{n}| < M, M \in \IR^{+}_{0}[/mm]
>
> Dann gilt für die Reihe:
> [mm]\forall \epsilon>0 \ \exists N \in \IN :[/mm]
>
> [mm]|a_{n}|+|a_{n+1}|....+|a_{n\rightarrow \infty}| < \frac{\epsilon}{M} \ \forall n\ge N[/mm]
>
> Damit folgt:
>
> [mm]|a_{n}c_{n}| + |a_{n+1}c_{n+1}|... +|a_{n\rightarrow \infty} c_{n\rightarrow \infty}| \le M( |a_{n}|+a_{n+1}|.... |a_{n\rightarrow \infty}|) < \epsilon[/mm]
>
Was soll [mm] $a_{n\rightarrow \infty}$ [/mm] sein, aber sonst stimmt das so.
>
> Ist es so richtig?
>
>
Ja nur noch die obige Sache ändern, sonst geht das in Ordnung.
Viele Grüße
Blasco
>
> > Die Folge der absoluten Reihe ist eine Cauchy Folge. Was
> bedeutet das?
>
> Das bedeutet dass die Abstände zwischen den Folgengliedern
> nicht beliebig gross werden sondern ab einem bestimmten [mm]N \in \IN[/mm]
> unendlich viele Glieder der Differenzfolge in eine Epsilon
> Umgebung passen und endlich viele draussen bleiben!
>
> > Viele GrüBe
>
> Danke!!!
>
> Gruss
> kushkush
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Sa 06.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Wozu denn das ganze [mm] \epsilon [/mm] - Gefummel und Cauchyfolge ?
Es gibt ein M>0 mit [mm] |c_n| \le [/mm] M für jedes n.
Dann ist [mm] |a_nc_n| \le M|a_n| [/mm] für jedes n.
Die Reihe [mm] \sum M|a_n| [/mm] ist konvergent. Jetzt Majorantenkriterium.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo blascowitz und fred,
> korrektur
> alternative
Danke!!!
Gruss
kushkush
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