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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Coriolis |
| Aufgabe | Sei 0 [mm] \not= [/mm] f [mm] \in \IR[X]. [/mm] Zeigen Sie, dass Polynome [mm] g_{1},\ldots, g_{k} \in \IR[X] [/mm] mit [mm] grad(g_{i}) \le [/mm] 2 für i = [mm] 1,\ldots,k [/mm] existieren, sodass f = [mm] \produkt_{i=1}^{k} g_{i}.
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom f [mm] \in \IC[X] [/mm] mit grad(f) > 0 hat eine Nullstelle in [mm] \IC. [/mm] |
Guten Abend!
Mich quält wieder eine Aufgabe. Bislang fehlt mir eine handfeste Idee. Von einem Kommilitonen bekam ich den Tipp, die reellen Polynome als komplexe Polynome zu betrachten und diese zu Linearfaktoren zu zerlegen. Damit weiß ich nun nicht viel anzufangen. Vorallem weiß ich noch weniger wie ich sowas notiere. Hat jemand einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mo 24.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei 0 [mm]\not=[/mm] f [mm]\in \IR[X].[/mm] Zeigen Sie, dass Polynome
> [mm]g_{1},\ldots, g_{k} \in \IR[X][/mm] mit [mm]grad(g_{i}) \le[/mm] 2 für i
> = [mm]1,\ldots,k[/mm] existieren, sodass f = [mm]\produkt_{i=1}^{k} g_{i}.[/mm]
>
>
> Hinweis: Benutzen Sie den Fundamentalsatz der Algebra:
> Jedes Polynom f [mm]\in \IC[X][/mm] mit grad(f) > 0 hat eine
> Nullstelle in [mm]\IC.[/mm]
>
> Mich quält wieder eine Aufgabe. Bislang fehlt mir eine
> handfeste Idee. Von einem Kommilitonen bekam ich den Tipp,
> die reellen Polynome als komplexe Polynome zu betrachten
> und diese zu Linearfaktoren zu zerlegen. Damit weiß ich
> nun nicht viel anzufangen. Vorallem weiß ich noch weniger
> wie ich sowas notiere. Hat jemand einen Tipp für mich?
Sei [mm] $\alpha \in \IC$ [/mm] eine Nullstelle von $f$.
Ist [mm] $\alpha \in \IR$, [/mm] so kannst du [mm] $g_i [/mm] = X - [mm] \alpha$ [/mm] waehlen.
Ist [mm] $\alpha \not\in \IR$, [/mm] so ist [mm] $\overline{\alpha}$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle von $f$ und du kannst [mm] $g_i [/mm] = ...$ waehlen (jetzt ueberleg mal was da stehen koennte  ).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Coriolis |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, aber ich würde mal vermuten, dass man irgendwie [mm] \alpha [/mm] und sein komplex konjugiertes multiplizieren muss, dann würden man ja das Quadrat vom Betrag von [mm] \alpha [/mm] bekommen. Dann wäre man ja wieder im reellen wenn meine Vermutung stimmt. Bei der Notation habe ich aber wieder Schwierigkeiten. Ich würde mal auf [mm] g_{i} [/mm] = X - [mm] \alpha*\overline{\alpha}.
[/mm]
Liege ich da richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 24.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo,
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> ich bin mir nicht sicher, aber ich würde mal vermuten,
> dass man irgendwie [mm]\alpha[/mm] und sein komplex konjugiertes
> multiplizieren muss, dann würden man ja das Quadrat vom
> Betrag von [mm]\alpha[/mm] bekommen. Dann wäre man ja wieder im
> reellen wenn meine Vermutung stimmt. Bei der Notation habe
> ich aber wieder Schwierigkeiten. Ich würde mal auf [mm]g_{i}[/mm] =
> X - [mm]\alpha*\overline{\alpha}.[/mm]
Das Polynom hat aber weder [mm] $\alpha$ [/mm] noch [mm] $\overline{\alpha}$ [/mm] als Nullstelle.
Such doch mal ein moeglichst einfaches Polynom mit [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\overline{\alpha}$ [/mm] als Nullstelle.
LG Felix
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