Produkt zweier Einheitswurzeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Katla |
| Aufgabe | | Sei [mm] $n=n_1n_2$ [/mm] eine zusammengesetzte Zahl mit [mm] ggT$(n_1,n_2)=1$. [/mm] Wenn [mm] $\zeta_1$ [/mm] eine primitive [mm] $n_1$-te [/mm] Einheitswurzel ist und [mm] $\zeta_2$ [/mm] eine primitive [mm] $n_2$-te [/mm] Einheitswurzel, dann ist [mm] $\zeta_1\zeta_2$ [/mm] eine primitive [mm] $n_1n_2$-te [/mm] Einheitswurzel. |
Hallo!
Ich habe zu dieser Aufgabe auch einen Beweis:
Sei $k$ der Exponent von [mm] $\zeta_1\zeta_2$. [/mm] Aus
[mm] $\left(\zeta_1\zeta_2\right)^{n_1n_2}=\left(\zeta_1^{n_1}\right)^{n_2}\cdot\left(\zeta_2^{n_2}\right)^{n_1}=1\mbox{ folgt }k \mid n_1n_2\mbox{.}$
[/mm]
Außerdem gilt
[mm] $1=\left(\zeta_1\zeta_2\right)^{kn_2}=\zeta_1^{kn_2}\cdot\zeta_2^{kn_2}=\zeta_1^{kn_2}\cdot\left(\zeta_2^{n_2}\right)^k=\zeta_1^{kn_2}\quad\Rightarrow\quad n_1 \mid kn_2\mbox{.}$
[/mm]
Da [mm] ggT$(n_1,n_2)=1$ [/mm] existieren [mm] $a,b\in\mathds{Z}$, [/mm] so dass [mm] $an_2+bn_1=1$ [/mm] und [mm] $\forall t\in\mathds{Z}$ [/mm] gilt [mm] $(a+tn_1)n_2+(b-tn_2)n_1=1$, [/mm] damit kann man $a$ so wählen, dass [mm] $1\!\leq\!a\!<\!n_1$. [/mm] Somit ist
[mm] $1=1^a=\zeta_1^{kn_2a}=\zeta_1^{k(1-bn_1)}=\zeta_1^k\left(\zeta_1^{n_1}\right)^{-b}=\zeta_1^k\quad\Rightarrow\quad n_1 \mid k\mbox{.}$
[/mm]
Auf die gleiche Weise erhält man [mm] $n_2 \mid [/mm] k$ und deshalb [mm] $n_1n_2 \mid [/mm] k$, also [mm] $k=n_1n_2$.
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich nicht verstehe wozu ich die Gleichung [mm] $(a+tn_1)n_2+(b-tn_2)n_1=1$ [/mm] brauche und ich $a$ so wähle, dass [mm] $1\!\leq\!a\!<\!n_1$. [/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Di 24.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht verstehe wozu ich die
> Gleichung [mm](a+tn_1)n_2+(b-tn_2)n_1=1[/mm] brauche und ich [mm]a[/mm] so
> wähle, dass [mm]1\!\leq\!a\!<\!n_1[/mm].
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Das braucht man hier nicht und steht da nur, um die Russen zu verwirren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 24.03.2009 | | Autor: | Katla |
Ah wunderbar, danke, war auch der Meinung, dass es weg kann.
|
|
|
|
