Produkt zweier Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ist. |
Hallo,
ich soll zeigen, dass das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ist.
Aber wie? Ich muss es ja für alle zeigen also reicht hier ein Beispiel nicht.
Ich weiß nicht mal wie ich anfangen soll :-(
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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Hallo piriyaie,
> Zeigen Sie, dass das Produkt einer Nullfolge mit einer
> beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ist.
> Hallo Ali,
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> ich soll zeigen, dass das Produkt aus einer Nullfolge und
> einer beschränkten Folge wieder eine Nullfolge ist.
>
> Aber wie? Ich muss es ja für alle zeigen also reicht hier
> ein Beispiel nicht.
>
> Ich weiß nicht mal wie ich anfangen soll :-(
Nimm an, [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] sei Nullfolge und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] beschränkt.
Was heißt ersteres nach Definition (mit [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]n_0[/mm])?
Beschränkt heißt: es gibt ein [mm]M\in\IR[/mm] mit [mm]|b_n|\le M[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Schaue dir dann mit der [mm]\varepsilon[/mm]-Definition mal die Folge [mm](a_n\cdot{}b_n)_{n\in\IN}[/mm] an und zeige, dass sie Nullfolge ist.
Streng nach Definition ...
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also ok. Danke für die Antwort.
Jetzt versuch ichs mal:
Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine beschränkte folge, dann gibt es ein R [mm] \in \IR, [/mm] sodass | [mm] b_{n} [/mm] | [mm] \le [/mm] R wobei R [mm] \not= [/mm] 0 ist. Sei nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0 dann ist auch [mm] \bruch{\varepsilon}{R} [/mm] > 0 und existiert auch.
Somit ist | [mm] a_{n} [/mm] - 0 | = | [mm] a_{n} [/mm] | < [mm] \bruch{\varepsilon}{R} [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Dann gilt doch auch laut Definition folgendes:
| [mm] a_{n}b_{n} [/mm] -0 | = | [mm] a_{n}b_{n} [/mm] | < [mm] \bruch{\varepsilon}{R} [/mm] * R = [mm] \varepsilon
[/mm]
Somit ist bewiesen, dass obiges gilt.
q.e.d.
Ist das richtig????
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Hallo nochmal,
> Also ok. Danke für die Antwort.
>
> Jetzt versuch ichs mal:
>
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge und [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> eine beschränkte folge, dann gibt es ein R [mm]\in \IR,[/mm] sodass
> | [mm]b_{n}[/mm] | [mm]\le[/mm] R wobei R [mm]\not=[/mm] 0 ist.
Jo, wenn [mm]R=0[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] durch [mm]R[/mm] beschränkt wäre, dann wäre [mm]b_n=0[/mm] für alle [mm]n[/mm], [mm](a_nb_n)_{n\in\IN}[/mm] also trivialerweise Nullfolge ..
> Sei nun [mm]\varepsilon[/mm] > 0 dann ist auch [mm]\bruch{\varepsilon}{R}[/mm] > 0 und existiert
> auch.
Jo
>
> Somit ist | [mm]a_{n}[/mm] - 0 | = | [mm]a_{n}[/mm] | < [mm]\bruch{\varepsilon}{R}[/mm] für alle n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
Ja, weil [mm]a_n[/mm] Nullfolge ist, existiert ein solches [mm]n_0[/mm] mit ... usw.
>
> Dann gilt doch auch laut Definition folgendes:
>
> | [mm]a_{n}b_{n}[/mm] -0 | = | [mm]a_{n}b_{n}[/mm] | < [mm]\bruch{\varepsilon}{R}[/mm] * R = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Somit ist bewiesen, dass obiges gilt.
>
>
> q.e.d.
>
>
> Ist das richtig????
Ja, du könntest das noch ein wenig "schöner" aufschreiben, aber die Idee ist goldrichtig!
Gut gemacht!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 01.01.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also würde mir da mein Prof volle punktzahl geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 01.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du die volle Punktzahl willst schreib [mm] a_n [/mm] Nullfolge heisst es gibt ein [mm] N_0 [/mm] so dass fuer alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt [mm] |a_n|<\epsilon/R
[/mm]
da [mm] b_n [/mm] beschraenkt gilt fuer alle [mm] b_n |b_n|
und jetzt erst folgere fuer alle [mm] n>N_0 [/mm] wie du es gemacht hast.
Gruss leduart
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