Produktabbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sind f:X-->V und g:Y-->W Abbildungen,so definiert man die Produktabbildung h:XxY-->VxW durch h(x,y)=(f(x),g(y)).
Man zeige für M [mm] \subset [/mm] V und N [mm] \subset [/mm] W:
[mm] h^{-1}(MxN)=f^{-1}(M)xg^{-1}(N). [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe.Die Definition der Produktabbildung hab ich verstanden.
So,jetzt hab ich eine Teilmenge M [mm] \subset [/mm] V und ein Teilmenge N [mm] \subset [/mm] W.
Ich bin mir aber nicht sicher,was hier mit [mm] h^{-1},f^{-1} [/mm] und [mm] g^{-1} [/mm] gemeint ist.Die Umkehrabbildunge,denke ich,ist es nicht,aber was dann?
Kann ich sagen,dass [mm] h^{-1}(MxN)=h(x,y)=(f(M),g(N)) [/mm] ?
lg
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Hallo,
wenn f eine Abbildung ist und A eine Menge, dann ist mit [mm] f^{-1}(A) [/mm] das Urbild von A unter der Abbildung f gemeint.
Wie das Urbild einer Menge definiert ist, schlägst Du am besten in Deinem Unterlagen nach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> wenn f eine Abbildung ist und A eine Menge, dann ist mit
> [mm]f^{-1}(A)[/mm] das Urbild von A unter der Abbildung f gemeint.
>
> Wie das Urbild einer Menge definiert ist, schlägst Du am
> besten in Deinem Unterlagen nach.
>
Ok,ich hab es nachgeschlagen.
Dann kann ich doch schonmal folgendes sagen:
[mm] f^{-1}(M)=\{x \in X:f(x) \in M \subset V\}
[/mm]
[mm] g^{-1}(N)=\{y \in Y:g(y) \in N \subset W\}
[/mm]
[mm] h^{-1}(MxN)=\{x \in X,y \in Y:f(x) \in M \subset V,g(y) \in N \subset W\}
[/mm]
[mm] =\{x \in X:f(x) \in M \subset V,y \in Y:g(y) \in N \subset W\}=f^{-1}(M) [/mm] x [mm] g^{-1}(N).
[/mm]
Ist es damit schon gezeigt?
lg
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Hallo,
wir hatte [mm] f:X\to [/mm] V, [mm] g:Y\to [/mm] W.
> Dann kann ich doch schonmal folgendes sagen:
> [mm]f^{-1}(M)=\{x \in X:f(x) \in M \subset V\}[/mm]
> [mm]g^{-1}(N)=\{y \in Y:g(y) \in N \subset W\}[/mm]
Ja.
>
> [mm]h^{-1}(MxN)=\{x \in X,y \in Y:f(x) \in M \subset V,g(y) \in N \subset W\}[/mm]
Das ist so nicht richtig. Du mußt auch hier die Def. des Urbildes exakt verwenden: im Urbild unter h von [mm] M\times [/mm] N sind die Paare(!) aus [mm] X\times [/mm] Y, für welche gilt [mm] h(x,y)\in M\times [/mm] N. Also
[mm] $h^{-1}(MxN)=\{(x,y)\in X\times Y:h((x,y))\in M\times N\}$
[/mm]
[mm] =\{(x,y)\in X\times Y:(f(x),g(y))\in M\times N\}$
[/mm]
[mm] =\{(x,y)\in X\times Y:f(x)\in M und f(y)\in N\}$
[/mm]
= ...
=...
> [mm]=f^{-1}(M) \times g^{-1}(N).[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > [mm]h^{-1}(MxN)=\{x \in X,y \in Y:f(x) \in M \subset V,g(y) \in N \subset W\}[/mm]
>
> Das ist so nicht richtig. Du mußt auch hier die Def. des
> Urbildes exakt verwenden: im Urbild unter h von [mm]M\times[/mm] N
> sind die Paare(!) aus [mm]X\times[/mm] Y, für welche gilt [mm]h(x,y)\in M\times[/mm]
> N. Also
>
> [mm]h^{-1}(MxN)=\{(x,y)\in X\times Y:h((x,y))\in M\times N\}[/mm]
>
> [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:(f(x),g(y))\in M\times N\}$[/mm]
>
> [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)\in M und f(y)\in N\}$[/mm]
>
Kann ich dann so weiterschreiben:
[mm] =\{(x,y)\in X\times Y:f(x)\in M \wedge g(y) \in N\}
[/mm]
[mm] =\{x \in X:f(x) \in M,y \in Y:g(y) \in N,(x,y) \in X\times Y:f(x)\in M \wedge g(y) \in N\} [/mm] ?
Denn am Ende muss ja wieder [mm] f^{-1}(M) [/mm] und das [mm] g^{-1}(N) [/mm] vorkommen,deswegen muss ich das hier iegendwie einbauen ???
> = ...
>
> =...
> > [mm]=f^{-1}(M) \times g^{-1}(N).[/mm]
>
> Gruß v. Angela
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> > > [mm]h^{-1}(MxN)=\{x \in X,y \in Y:f(x) \in M \subset V,g(y) \in N \subset W\}[/mm]
>
> >
> > Das ist so nicht richtig. Du mußt auch hier die Def. des
> > Urbildes exakt verwenden: im Urbild unter h von [mm]M\times[/mm] N
> > sind die Paare(!) aus [mm]X\times[/mm] Y, für welche gilt [mm]h(x,y)\in M\times[/mm]
> > N. Also
> >
> > [mm]h^{-1}(MxN)=\{(x,y)\in X\times Y:h((x,y))\in M\times N\}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:(f(x),g(y))\in M\times N\}$[/mm]
> >
> > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)\in M und f(y)\in N\}$[/mm]
> >
> Kann ich dann so weiterschreiben:
> [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)\in M \wedge g(y) \in N\}[/mm]
> [mm]=\{x \in X:f(x) \in M,y \in Y:g(y) \in N,(x,y) \in X\times Y:f(x)\in M \wedge g(y) \in N\}[/mm]
> ?
Hallo,
unter dieser Menge kann ich mir absolut nichts vorstellen.
Welche def. hast Du denn verwendet. (Antwort: keine.)
> Denn am Ende muss ja wieder [mm]f^{-1}(M)[/mm] und das [mm]g^{-1}(N)[/mm]
> vorkommen,deswegen muss ich das hier iegendwie einbauen
> ???
"Irgendwie einbauen" könnte einen ziemlichen Müll ergeben, wenn man das Teilchen falsch einbaut.
Meinen Trick, für die Vorgehensweise, wenn es vorwärts nicht mehr weitergeht, hab' ich von den Tunnelbauern abgeguckt: die arbeiten nämlich auch von beiden Seiten, und wenn alles gut geplant und duchgeführt ist, treffen sie die beiden Seiten der Röhre.
Zieh das doch jetzt mal von dem gewünschten Ergebnis her rückwärts auf und guck', ob es sich irgendwie trifft.
> > = ...
> >
> > =...
> > > [mm]=f^{-1}(M) \times g^{-1}(N).[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > sind die Paare(!) aus [mm]X\times[/mm] Y, für welche gilt [mm]h(x,y)\in M\times[/mm]
> > > N. Also
> > >
> > > [mm]h^{-1}(MxN)=\{(x,y)\in X\times Y:h((x,y))\in M\times N\}[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:(f(x),g(y))\in M\times N\}$[/mm]
> > >
>
> > > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:f(x) \in M und g(y) \in N\}$[/mm]
> > >
Ich habs nochmal versucht und hab so weitergemacht:
[mm] =\{x \in X:f(x) \in M und y \in Y:g(y) \in N\}
[/mm]
[mm] =\{x \in X:f(x) \in M \times y \in Y:g(y) \in N\}
[/mm]
[mm] =f^{-1}(M) \times g^{-1}(N)
[/mm]
So in Ordnung?
lg
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> > > > sind die Paare(!) aus [mm]X\times[/mm] Y, für welche gilt [mm]h(x,y)\in M\times[/mm]
> > > > N. Also
> > > >
> > > > [mm]h^{-1}(MxN)=\{(x,y)\in X\times Y:h((x,y))\in M\times N\}[/mm]
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> >
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> > > >
> > > > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:(f(x),g(y))\in M\times N\}$[/mm]
> >
> > >
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> > > > [mm]=\{(x,y)\in X\times Y:f(x) \in M und g(y) \in N\}$[/mm]
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> > >
> Ich habs nochmal versucht und hab so weitergemacht:
>
> [mm]=\{x \in X:f(x) \in M und y \in Y:g(y) \in N\}[/mm]
> [mm]=\{x \in X:f(x) \in M \red{\}}\times \red{\{}y \in Y:g(y) \in N\}[/mm]
>
> [mm]=f^{-1}(M) \times g^{-1}(N)[/mm]
>
> So in Ordnung?
Jetzt ja.
Gruß v. Angela
>
> lg
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