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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 01.04.2005 | | Autor: | GONI |
Hi,
hmm, wie kann man mit Hilfe der Produktintegration die Stammfunktion von [mm] \integral {sin^2(x) dx} [/mm] finden?
Wir haben folgendes Zwischenergebnis:
[mm] [-cos(x)*sin(x)]-\integral{ -cos(x)*cos(x) dx} [/mm] gekommen wobei man bei -cos(x)*cos(x) höchstwahrscheinlich nochmal die Produktintegration anwenden muss. Dabei kommen wir zu folgendem Ergebnis:
[mm] [-cos(x)*sin(x)]-\integral{-sin(x)*sin(x) dx}
[/mm]
Einsetzen in das Zwischenergebnis:
[mm] \integral{sin^2(x) dx}=[-cos(x)*sin(x)]-([-cos(x)*sin(x)]-\integral{-sin(x)*sin(x) dx})
[/mm]
Die beiden eckigen Klammern kürzen sich beim ausmultiplizieren der minus-Klammer weg. Es bleibt eine wahre Aussage übrig.
mmmhhh.
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Hi, Goni,
> Hi,
> hmm, wie kann man mit Hilfe der Produktintegration die
> Stammfunktion von [mm]\integral {sin^2(x) dx}[/mm] finden?
> Wir haben folgendes Zwischenergebnis:
> [mm][-cos(x)*sin(x)]-\integral{ -cos(x)*cos(x) dx}[/mm] gekommen
> wobei man bei -cos(x)*cos(x) höchstwahrscheinlich nochmal
> die Produktintegration anwenden muss. Dabei kommen wir zu
> folgendem Ergebnis:
> [mm][-cos(x)*sin(x)]-\integral{-sin(x)*sin(x) dx}[/mm]
> Einsetzen
> in das Zwischenergebnis:
> [mm]\integral{sin^2(x) dx}=[-cos(x)*sin(x)]-([-cos(x)*sin(x)]-\integral{-sin(x)*sin(x) dx})[/mm]
>
> Die beiden eckigen Klammern kürzen sich beim
> ausmultiplizieren der minus-Klammer weg. Es bleibt eine
> wahre Aussage übrig.
> mmmhhh.
Tja: Im Kreis gerechnet! Das kommt vor bei der part.Integration.
Von vorne: Das gesuchte Integral nenn' ich mal J.
J = [mm] \integral{sin(x)*sin(x)dx} [/mm]
part. Int.:
u(x) = sin(x); u'(x) = cos(x);
v'(x) = sin(x); v(x) = -cos(x).
J = -sin(x)*cos(x) + [mm] \integral{(cos(x))^{2}dx}
[/mm]
Und nun: Nicht nochmal part.Int., sondern:
[mm] (cos(x))^{2} [/mm] = [mm] 1-(sin(x))^{2}!!
[/mm]
Daher: J = -sin(x)*cos(x) + [mm] \integral{1 - (sin(x))^{2}dx}
[/mm]
J = -sin(x)*cos(x) + [mm] \integral{1*dx} [/mm] - [mm] \integral{(sin(x))^{2}dx}
[/mm]
= -sin(x)*cos(x) + x + c' - [mm] \integral{(sin(x))^{2}dx}
[/mm]
Das ganz hinten stehende Integral ist wieder gleich J. Dies kommt vor und wird in manchen Lehrbüchern "Typ Phönix" genannt: Wie der Phönix aus der Asche ist das Integral wieder erstanden (aber anders als bei Dir: nicht-trivial!)
Wir können also schreiben: J = -sin(x)*cos(x) +x + c' - J;
oder: 2*J = -sin(x)*cos(x) +x + c' | : 2
J = [mm] -\bruch{1}{2}*sin(x)*cos(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] + C
(wobei ich c für [mm] \bruch{1}{2}c' [/mm] geschrieben habe!)
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