Produktionsfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 13.06.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe | Die Juniorchefin eines kleinen Unternehmens möchte den Betrieb erweitern und 1 Mio € investieren. Sie geht von einer Produktionsfunktion [mm] x (A,K) = 2 * 10 ³ * A^\bruch {1}{4} * K^\bruch {3}{4} [/mm] aus.
( A : Arbeitskosten K: in Maschinen investiertes Kapital, x: Output )
Von ihrem Vater erhält sie den Rat, K = A = [mm] \bruch [/mm] {1}{2} sei eine ausgewogene bewährte Kombination. Die Unternehmensberatung "GuterRatistteuer" empfiehlt K = 1/4 , A = 3/4.
Ein Praktikant der FH empfiehlt: K = 2/3, A = 1/3.
a) Vergleichen Sie die Produktivitäten der drei Vorschläge untereinander.
b) Die Juniorchefin ist nach wie vor unsicher, ihr gefällt keine der 3 Lösungen. Sie möchte die Optimale. Ermitteln Sie diese. |
Teil A
Also, ich habe folgendes gemacht ! In die Produktionsfunktion habe ich die drei Möglichkeiten eingesetzt:
1 Möglichkeit K = A = 1/2
Ergebnis = 1000
2 Möglichkeit K= 1/4; A = 3/4
Ergebnis = 658,03
3 Möglichkeit K= 2/3; A = 1/3
Ergebnis = 1121,20
Hm... ??
Also kann ich hier nur Vergleichen, dass ich bei Möglichkeit 3 eine Stückzahl von 1121 Stück habe
und die geringste bei Möglichkeit 2
Die Frage, die ich mir hierbei stelle ist, ob dieser "Vergleich" der Aufgabenstellung entspricht
(Vorrausgesetzt mein Ansatz ist richtig)
Teil B
Optimale Produktivität:
Laut Angabe ist es ja so:
x(A,K) = 2 * 10 ³ * [mm] A^\bruch [/mm] {1}{4} * [mm] K^\bruch [/mm] {3}{4}
Ich würde jetzt sagen:
[mm] \bruch{ x(A,K) }{ A^\bruch{1}{4} * K^\bruch{3}{4} } [/mm] = 2 * 10 ³
Um dann A und K zu berechnen.
Stimmt dieser Ansatz ? Wenn nicht, bitte gebt mir einen Tipp !
Vielen Dank mal wieder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 13.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Die Juniorchefin eines kleinen Unternehmens möchte den
> Betrieb erweitern und 1 Mio € investieren. Sie geht
> von einer Produktionsfunktion [mm]x (A,K) = 2 * 10 ³ * A^\bruch {1}{4} * K^\bruch {3}{4}[/mm]
> aus.
> ( A : Arbeitskosten K: in Maschinen investiertes Kapital,
> x: Output )
> Von ihrem Vater erhält sie den Rat, K = A = [mm]\bruch[/mm] {1}{2}
> sei eine ausgewogene bewährte Kombination. Die
> Unternehmensberatung "GuterRatistteuer" empfiehlt K = 1/4 ,
> A = 3/4.
> Ein Praktikant der FH empfiehlt: K = 2/3, A = 1/3.
>
> a) Vergleichen Sie die Produktivitäten der drei Vorschläge
> untereinander.
> b) Die Juniorchefin ist nach wie vor unsicher, ihr gefällt
> keine der 3 Lösungen. Sie möchte die Optimale. Ermitteln
> Sie diese.
> Teil A
> Also, ich habe folgendes gemacht ! In die
> Produktionsfunktion habe ich die drei Möglichkeiten
> eingesetzt:
>
> 1 Möglichkeit K = A = 1/2
> Ergebnis = 1000
>
> 2 Möglichkeit K= 1/4; A = 3/4
> Ergebnis = 658,03
>
> 3 Möglichkeit K= 2/3; A = 1/3
> Ergebnis = 1121,20
>
> Hm... ??
> Also kann ich hier nur Vergleichen, dass ich bei
> Möglichkeit 3 eine Stückzahl von 1121 Stück habe
> und die geringste bei Möglichkeit 2
>
> Die Frage, die ich mir hierbei stelle ist, ob dieser
> "Vergleich" der Aufgabenstellung entspricht
> (Vorrausgesetzt mein Ansatz ist richtig)
>
Das ist Korrekt.
>
> Teil B
> Optimale Produktivität:
> Laut Angabe ist es ja so:
> x(A,K) = 2 * 10 ³ * [mm]A^\bruch[/mm] {1}{4} * [mm]K^\bruch[/mm] {3}{4}
>
> Ich würde jetzt sagen:
> [mm]\bruch{ x(A,K) }{ A^\bruch{1}{4} * K^\bruch{3}{4} }[/mm] = 2 *
> 10 ³
> Um dann A und K zu berechnen.
>
> Stimmt dieser Ansatz ? Wenn nicht, bitte gebt mir einen
> Tipp !
>
Nein, so funktioniert es leider nicht.
Dipe Produnktionsfunktion ist ja gegeben.
x(A,K) = 2 * 10³ * [mm] A^{\bruch{1}{4}} [/mm] * [mm] K^{\bruch{3}{4}}. [/mm]
Jetzt weisst du ausserdem, dass A + K = 1 sind,
Also kannst du diese Gleichung nach A oder K umstellen und in die Produktionsfunktion einsetzen. Jetzt kannst du die Extremstellen suchen.
Also Ableiten, von der Ableitung die Nullstellen bestimmen, usw.
Hierzu gibt es genügend Beispiele im Matheforum.
Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 19.06.2006 | | Autor: | stray |
Also... nochmal zur Verständigung...
A+K = 1 => K= 1 - A
dies in die Produktionsfunktion
x(A;K) = 2 * [mm] 10^3 [/mm] * [mm] A^\bruch{1}{4} [/mm] * [mm] K^\bruch{3}{4}
[/mm]
eingesetzt:
x(A) = 2 * [mm] 10^3 [/mm] * [mm] A^\bruch{1}{4} [/mm] * [mm] (1-A)^\bruch{3}{4}
[/mm]
und davon jetzt die Ableitung dann über Nullstellen A bestimmen und dann kann ich über
die Formel A+K=1 K bestimmen
Ich hoff das krieg ich dann noch hin.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 20.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Also... nochmal zur Verständigung...
>
> A+K = 1 => K= 1 - A
>
> dies in die Produktionsfunktion
> x(A;K) = 2 * [mm]10^3[/mm] * [mm]A^\bruch{1}{4}[/mm] * [mm]K^\bruch{3}{4}[/mm]
> eingesetzt:
>
> x(A) = 2 * [mm]10^3[/mm] * [mm]A^\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](1-A)^\bruch{3}{4}[/mm]
>
> und davon jetzt die Ableitung dann über Nullstellen A
> bestimmen und dann kann ich über
> die Formel A+K=1 K bestimmen
>
>
> Ich hoff das krieg ich dann noch hin.
>
Yep, genau so funktionierts.
> Danke
>
>
Bitte
Marius
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Di 20.06.2006 | | Autor: | stray |
> > x(A) = 2 * [mm]10^3[/mm] * [mm]A^\bruch{1}{4}[/mm] * [mm](1-A)^\bruch{3}{4}[/mm]
Ich hab grad ein Problem mit dem (1-A).
Die Ableitung geht doch mit der Produktregel oder ?
U = 2 * [mm] 10^3 [/mm] * [mm] A^\bruch{1}{4} [/mm] U´= [mm] \bruch{1}{4} A^\bruch{-3}{4}
[/mm]
V = [mm] (1-A)^\bruch{3}{4} [/mm] V´= - [mm] A^\bruch{3}{4}
[/mm]
=> U´ * V + U * V´
=> [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] A^\bruch{-3}{4} [/mm] * [mm] (1-A)^\bruch{3}{4} [/mm] + 2 * [mm] 10^3 [/mm] * [mm] A^\bruch{1}{4} [/mm] * - [mm] A^\bruch{3}{4}
[/mm]
=> - A * 2000
Stimmt das dann ? Was passiert mit dem ersten Teil ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Di 20.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Die Funktion ist x(A) = 2000 [mm] A^{\bruch{1}{4}} (1-A)^{\bruch{3}{4}} [/mm]
Die Ableitung funktioniert tatsächlich mit der Produktregel.
Die 2000 kannst du als konstanten Faktor erst einmal aussen vor lassen.
Also: u = [mm] A^{\bruch{1}{4}} \Rightarrow [/mm] u´= [mm] \bruch{1}{4} A^{-\bruch{3}{4}}, [/mm] was du ja oben berechnet hast.
Jetzt bleibt noch v = [mm] (1-A)^{\bruch{3}{4}} [/mm] Um v´zu berechnen, brauchst du noch die Kettenregel. Da die innere Ableitung (von (1-A) aber -1 ergibt, brauchst du nur das Vorzeichnen von der äusseren Ableitung zu ändern.
Also v´ = - [mm] \bruch{3}{4} (1-A)^{-\bruch{1}{4}} [/mm] .
"Zusammengebaut" ergibt sich also folgende Gesamtableitung.
x´(A) = 2000 [mm] [[\underbrace{\bruch{1}{4} A^{-\bruch{3}{4}}}_{=u'} [/mm] * [mm] \underbrace{(1-A)^{\bruch{3}{4}}}_{=v}] [/mm] + [mm] [\underbrace{A^{\bruch{1}{4}}}_{=u} [/mm] * [mm] \underbrace{-\bruch{3}{4} (1-A)^{-\bruch{1}{4}}}_{=v'}]].
[/mm]
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 20.06.2006 | | Autor: | stray |
Okay, soweit hab ichs verstanden,
aber ich hab immernoch keinen Plan wie das nun mit dem (1-A) weitergeht !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Di 20.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Dann versuche ich mich mal an der Lösung, allerdings ohne Garantie:
x´(A) = 2000 [mm] [[\bruch{1}{4} A^{-\bruch{3}{4}} [/mm] * [mm] (1-A)^{\bruch{3}{4}}] [/mm] + [mm] [A^{\bruch{1}{4}} [/mm] * [mm] -\bruch{3}{4} (1-A)^{-\bruch{1}{4}}]]
[/mm]
Zuerst einmal teile durch 2000, und ersetze die Brüche in Exponenten durch die vierte Wurzel.
Dann erhältst du:
0 = [mm] \bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{(1-A)³} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4} \wurzel[4]{A} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1-A}.
[/mm]
Jetzt kannst du die Wurzeln zusammenfassen.
(Es gilt: [mm] \wurzel[n]{a} *\wurzel[n]{b} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ab} [/mm] )
Also gilt:
[mm] \bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³ (1-A)³} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \wurzel[4]{A (1-A)}.
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel[4]{A³ (1-A)³} [/mm] = 3 [mm] \wurzel[4]{A (1-A)}
[/mm]
Wenn du jetzt die Wurzeln weglässt, erhältst du:
(A³ (1-A)³) = [mm] \underbrace{3^{4}}_{=81} [/mm] (A (1-A))
Das Sollte kein Problem mehr darstellen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 20.06.2006 | | Autor: | stray |
> x´(A) = 2000 [mm][[\bruch{1}{4} A^{-\bruch{3}{4}}[/mm] *
> [mm](1-A)^{\bruch{3}{4}}][/mm] + [mm][A^{\bruch{1}{4}}[/mm] * [mm]-\bruch{3}{4} (1-A)^{-\bruch{1}{4}}]][/mm]
>
> 0 = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³}[/mm] * [mm]\wurzel[4]{(1-A)³}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{4} \wurzel[4]{A}[/mm] * [mm]\wurzel[4]{1-A}.[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³ (1-A)³}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4} \wurzel[4]{A (1-A)}.[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel[4]{A³ (1-A)³}[/mm] = 3 [mm]\wurzel[4]{A (1-A)}[/mm]
> (A³ (1-A)³) = [mm]\underbrace{3^{4}}_{=81}[/mm] (A (1-A))
glaube da is ein Fehler drin
-> müsste doch eigentlich:
A³ (1-A)³ = 3 * (A (1-A)) sein, wenn ich die Wurzeln weg lass, bleibt da nur eine 3 übrig !
dann weiter:
[mm] A^2 [/mm] * [mm] (1-A)^2 [/mm] = 3 (geteilt durch A(1-A) )
[mm] A^2 [/mm] * [mm] 1^2 [/mm] - 2A + [mm] A^2 [/mm] = 3 (bin. Formel)
2 [mm] A^2 [/mm] - 2A - 3 = 0
[mm] A_{1/2} [/mm] = die Formel eben....
Ergebnis [mm] A_1 [/mm] = 1,82 und [mm] A_2 [/mm] = 0,68
da A + K = 1 => [mm] K_2 [/mm] = 0,32 [mm] k_1 [/mm] = -0,82
ALSO ERGEBNIS (da [mm] A_1 [/mm] bzw [mm] K_1 [/mm] ausgeschlossen) = [mm] A_1 [/mm] = 0,68 und [mm] K_1 [/mm] = 0,32
tada...
jetzt hoff ich das es stimmt ;o)
danke nochmal
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:56 Di 20.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
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> > x´(A) = 2000 [mm][[\bruch{1}{4} A^{-\bruch{3}{4}}[/mm] *
> > [mm](1-A)^{\bruch{3}{4}}][/mm] + [mm][A^{\bruch{1}{4}}[/mm] * [mm]-\bruch{3}{4} (1-A)^{-\bruch{1}{4}}]][/mm]
>
> >
> > 0 = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³}[/mm] * [mm]\wurzel[4]{(1-A)³}[/mm] -
> > [mm]\bruch{3}{4} \wurzel[4]{A}[/mm] * [mm]\wurzel[4]{1-A}.[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{4} \wurzel[4]{A³ (1-A)³}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4} \wurzel[4]{A (1-A)}.[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \wurzel[4]{A³ (1-A)³}[/mm] = 3 [mm]\wurzel[4]{A (1-A)}[/mm]
>
>
>
> > (A³ (1-A)³) = [mm]\underbrace{3^{4}}_{=81}[/mm] (A (1-A))
> glaube da is ein Fehler drin
> -> müsste doch eigentlich:
> A³ (1-A)³ = 3 * (A (1-A)) sein, wenn ich die Wurzeln weg
> lass, bleibt da nur eine 3 übrig !
>
Yep, sorry, mein Fehler
> dann weiter:
> [mm]A^2[/mm] * [mm](1-A)^2[/mm] = 3 (geteilt durch A(1-A) )
>
> [mm]A^2[/mm] * [mm]1^2[/mm] - 2A + [mm]A^2[/mm] = 3 (bin. Formel)
> 2 [mm]A^2[/mm] - 2A - 3 = 0
>
> [mm]A_{1/2}[/mm] = die Formel eben....
>
> Ergebnis [mm]A_1[/mm] = 1,82 und [mm]A_2[/mm] = 0,68
>
> da A + K = 1 => [mm]K_2[/mm] = 0,32 [mm]k_1[/mm] = -0,82
>
>
> ALSO ERGEBNIS (da [mm]A_1[/mm] bzw [mm]K_1[/mm] ausgeschlossen) = [mm]A_1[/mm] = 0,68
> und [mm]K_1[/mm] = 0,32
>
> tada...
> jetzt hoff ich das es stimmt ;o)
Korrekt
>
> danke nochmal
Da nicht für, dafür ist das Forum ja da.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mi 21.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Marius und stray
Ihr habt euch durch das saloppe : "jetzt lass ich die Wurzel weg" täuschen lassen. Eigentlich muss es heissen : nehme beide Seiten der Gleichung hoch 4, dadurch fällt die Wurzel weg!
[mm] 2*\wurzel{2}=\wurzel{8} [/mm] "jetzt lass ich die Wurzel weg" was passiert?
Also der erst post von Marius war richtig!
(hab allerdings den Rest der Rechnungen nicht nachgeprüft. Das sollte ja auch der endgültige Löser lieber noch tun.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 21.06.2006 | | Autor: | stray |
soweit ich weiß,
wenn auf der einen seite ne wurzel steht und auf der anderen seite auch
quadriert man - was passiert, dass unter der wurzel bleibt übrig.
und ob das nun die quadratwurzel ist oder die 4.wurzel davon
ist ja dann schnurz...
von daher muss es ja doch richtig sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Mi 21.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo stray
Wenn da steht [mm] $\wurzel[4]{a}= \wurzel[4]{b}$ [/mm] folgt natürlich durch potenzieren $( [mm] \wurzel[4]{a})^4= (\wurzel[4]{b})^4$ [/mm] daraus a=b
ABER $3* [mm] \wurzel[4]{a}= \wurzel[4]{b}$ [/mm] folgt ebenso [mm] $(3*\wurzel[4]{a})^4= (\wurzel[4]{b})^4$ [/mm] daraus [mm] $3^4*a=b$
[/mm]
Gruss leduart.
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