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| Aufgabe | Gegeben seien die Maße:
[mm] \nu [/mm] (A) := [mm] \lambda^1 [/mm] (A [mm] \cap \IR_{\ge 0} [/mm] ) + [mm] \zeta [/mm] ( A [mm] \cap \IR_{\le 0} [/mm] )
und
[mm] \mu [/mm] (A) := [mm] \lambda^1 [/mm] (A) + [mm] \zeta [/mm] (A [mm] \cap \IZ_{\le 0} [/mm] ) ( [mm] \zeta [/mm] ist das Zählmaß)
sowie der Halbkreis
H := { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 \le [/mm] 1 , [mm] x\ge [/mm] 0 }
Bestimmen Sie ( [mm] \nu \otimes \mu) [/mm] (H) |
Huhu zusammen!
Also mein Vorgehen hier:
Erstmal definiere ich mir durch [mm] H_y [/mm] := { x [mm] \in \IR [/mm] : 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{1-(y-2)^2} [/mm] }
Daher muss 1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 , damit die Wurzel definiert ist.
Daher folgere ich erstmal:
( [mm] \nu \otimes \mu) [/mm] (H) = [mm] \integral_{1}^{3}{ \nu ( H_y) d \mu }
[/mm]
Da die Menge auf dem Gebiet [mm] \ge [/mm] 0 ist, müsste ich das Zählmaß vernachlässigen dürfen und es umschreiben zu
[mm] \integral_{1}^{3}{ \lambda^1 ( H_y) d \mu }
[/mm]
Um nun die Intervalllänge von x zu bestimmen, müsste ich wohl dies einsetzen:
= [mm] \integral_{1}^{3}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \mu }
[/mm]
Der Ausdruck ist wiederrum [mm] \ge [/mm] 0 , wobei wir also bei der Def. von [mm] \mu [/mm] wieder das Zählmaß vergessen können und es umschreiben zu
= = [mm] \integral_{1}^{3}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \lambda^1 }
[/mm]
und das könnte man normal ausrechnen. Ist die Vorgehensweise so richtig oder gibts zwischendrin Fehler? Ich kann nicht gut nach Maßen integrieren, wenn es nicht das Lebesgue Maß ist :P
Viele Grüße,
Evelyn
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Hallo Evelyn,
> Gegeben seien die Maße:
>
> [mm] \nu [/mm] (A) := [mm] \lambda^1 [/mm] (A [mm] \cap \IR_{\ge 0} [/mm] ) + [mm] \zeta [/mm] ( A [mm] \cap \IR_{\le 0} [/mm]
> )
>
> und
>
> [mm] \mu [/mm] (A) := [mm] \lambda^1 [/mm] (A) + [mm] \zeta [/mm] (A [mm] \cap \IZ_{\le 0} [/mm] ) (
> [mm] \zeta [/mm] ist das Zählmaß)
>
> sowie der Halbkreis
>
> H := { (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] (y-2)^2 \le [/mm] 1 , [mm] x\ge [/mm] 0 }
>
> Bestimmen Sie ( [mm] \nu \otimes \mu) [/mm] (H)
Ich gehe mal davon aus, dass auch bei der Definition von [mm] $\nu$ [/mm] oben eigentlich $zeta ( A [mm] \cap \IZ_{\le 0})$ [/mm] steht? (Also mit [mm] $\IZ$ [/mm] statt [mm] $\IR$) [/mm] . Es ist für die Aufgaben im Folgenden aber nicht so wichtig, die Ergebnisse bleiben dieselben.
> Also mein Vorgehen hier:
>
> Erstmal definiere ich mir durch [mm] H_y:= [/mm] { x [mm] \in \IR [/mm] : 0 [mm] \le [/mm]
> x [mm] \le \wurzel{1-(y-2)^2} [/mm] }
>
> Daher muss 1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3 , damit die Wurzel definiert
> ist.
>
> Daher folgere ich erstmal:
>
> ( [mm] \nu \otimes \mu) [/mm] (H) = [mm] \integral_{1}^{3}{ \nu ( H_y) d \mu }
[/mm]
Das ist schonmal sehr gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da die Menge auf dem Gebiet [mm]\ge[/mm] 0 ist, müsste ich das
> Zählmaß vernachlässigen dürfen und es umschreiben zu
>
> [mm]\integral_{1}^{3}{ \lambda^1 ( H_y) d \mu }[/mm]
Nein, denn die Menge [mm] $H_y$ [/mm] beinhaltet ja auch $x = 0$. Demzufolge ist
[mm] $\nu(H_y) [/mm] = [mm] \lambda^{1}(H_y) [/mm] + [mm] \zeta(\{0\}) [/mm] = [mm] \lambda^{1}(H_y) [/mm] + 1$.
Diese 1 fehlt im Folgenden bei dir, die muss noch überall ergänzt werden in den Rechnungen (*).
> Um nun die Intervalllänge von x zu bestimmen, müsste ich
> wohl dies einsetzen:
>
> = [mm]\integral_{1}^{3}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \mu }[/mm]
Ja (bis auf (*)).
> Der Ausdruck ist wiederrum [mm]\ge[/mm] 0 , wobei wir also bei der
> Def. von [mm]\mu[/mm] wieder das Zählmaß vergessen können und es
> umschreiben zu
>
> = = [mm]\integral_{1}^{3}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \lambda^1 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist zwar richtig (bis auf (*)), aber ich denke, dass du bei der Begründung das Falsche meinst.
Du kannst das Zählmaß ja nicht weglassen, weil der Integrand positiv ist, sondern weil die Menge, über die integriert wird , positiv ist.
Integriert wird über das Intervall $[1,3]$, und für dieses gilt eben $\zeta([1,3] \cap \IZ_{\le 0}) = 0$.
Formal aufgeschrieben:
$\integral_{1}^{3}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \mu = \integral_{[1,3]}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \lambda^1 + \integral_{[1,3] \cap \IZ_{\le 0}}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \zeta =\integral_{[1,3]}{\wurzel{1-(y-2)^2)} d \lambda^1 + 0$.
Viele Grüße,
Stefan
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Hey Stefan!
Hach ärgerlich das mit dem Zählmaß von 0, was ich übersehen habe :/ Ärgerlicher Fehler, aber das Prinzip scheine ich verstanden zu haben :D
Vielen lieben Dank !
Liebe Grüße,
Eve
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