Produktregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Also wir sollten uns die Herleitung der Produktregel anschauen,aber ich versteh da was nicht so ganz...kann mir bitte jemand helfen??
Also bis hierhin hab ich es verstanden:
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
Aber wie kommt man von diesen Ausdruck auf diesen???
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{[u(x+h)\red{-u(x)}]*\red{v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}}{h}
[/mm]
das letzte h soll unter dem Bruchstrich stehn,ich krieg das da irgendwie nicht hin
Dankeschön ;)
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> Hallo^^
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> Also wir sollten uns die Herleitung der Produktregel
> anschauen,aber ich versteh da was nicht so ganz...kann mir
> bitte jemand helfen??
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> Also bis hierhin hab ich es verstanden:
>
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}[/mm]
>
> Aber wie kommt man von diesen Ausdruck auf diesen???
>
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{[u(x+h)\red{-u(x)}]*\red{v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}}{h}
}[/mm]
Hallo,
wie man darauf kommt, ist schwer zu sagen, manchmal hat man eben eine gute Idee...
Du kannst Dich aber davon überzeugen, daß [mm] \bruch{[u(x+h)-u(x)]*v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
dasselbe ist wie [mm] \bruch{u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}. [/mm] Löse im ersten Ausdruck einfach die Klammern auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Welche Klammern denn??ßDa sind ja nur Klammern um das (x+h),aber das gehört ja zu f(x+h) ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Angela meint, dass du in dem Ausdruck den du rot markiert hast, einfach mal die Klammern auflösen sollst, und dann die Gleichheit der beiden Seiten feststellen sollst.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei der Produktregel hat man eventuell versucht dieses Produkt auf bekannte Ausdrücke zurückzuführen.
Was man bis dahin mindestens weiß: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x).
[/mm]
Und jetzt beim Produkt:
f(x)=a(x)*b(x)
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a(x+h)*b(x+h)-a(x)*b(x)}{h}=... [/mm] Die Umformung kennst du ja dann. Man hat das a(x+h) Einfach durch ein a(x+h)-a(x) ersetzt, weil das ja schon ein bekannterer Ausdruck war. Da man damit aber den Wert des Terms verändert hat, muss man das, was zu viel ist, wieder neutralisieren. Wenn ich mich nicht irre nennt man das auch Nullergänzung. Das gleiche Prinzip findet man auch beid er quadratischen Ergänzung, du dichtet etwas in den Term dazu, aber ziehst es wieder ab.
So viel zu meiner Ansichtsweise, muss nicht stimmen, aber das wäre eine Möglichkeit, auf die Produktregel zu kommen, wenn man vorher nur den "normalen" Differentialquotienten kennt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Okay,aber ich versteh nicht warum man a(x+h) durch a(x+h)-a(x) ersetzt ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Das könnte man damit begründen, dass man auf einen bekannten Ausdruck kommen wollte, wie ich erwähnt habe.
Im Nenner steht ja auch ein h, wie beim "normalen" Differentialquotienten. Also hat man sich eventuell überlegt den Nenner so hinzubiegen, dass da etwas mit a(x+h)-a(x) steht, wie man es schon kennt. Und scheinbar hat es ja auch geklappt!
Ich frage mich auch oft, wie man auf irgendwelche Sätze/Formeln kommt, aber wer versteht schon die Hardcoremathematiker ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
hab da noch ne Frage: Ist diese Nullergänzung das selbe wie die quadratische Ergänzung???
Weil die quadratische Ergänzung kann man hier doch eigentlich nicht anwenden,da hier überhaupt kein Quadrat ist.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Die quadratische Ergänzung ist auch eine "Nullergänzung". Denn auch dort wird ein Term addiert und gleich wieder abgezogen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja das weiß ich,aber warum darf man die denn hier benutzen,man hat doch gar keine quadratische Funktion????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Eine "Null addieren" darf ich doch immer ...
Bei der quadratsichen Ergänzung wird nichts anderes gemacht für den Spezialfall einer quadratischen Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Achsoooo,wenn ich das immer darf,dann is ja gut :)
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Hallo,
nochmal ausführlich das, was ich meinte vorhin:
> > Also bis hierhin hab ich es verstanden:
> >
> > [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}[/mm]
[mm] =\bruch{u(x+h)*v(x+h) +\green{0}-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{u(x+h)*v(x+h) +\green{-u(x)*v(x+h)+u(x)*v(x+h)}-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{[u(x+h)*v(x+h) - u(x)*v(x+h)] + u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{[u(x+h) - u(x)]*v(x+h) + u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}{h}
[/mm]
> > Aber wie kommt man von diesen Ausdruck auf diesen???
Nun ist man genau dort:
> >
> >
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=\bruch{[u(x+h)\red{-u(x)}]*\red{v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}}{h}
}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Dankeschön,davon wird mir die Sache schon klarer,aber hab trotzdem noch ne Frage, warum hast du für die 0 ,die du grün markiert hast u(x)*v(x+h) genommen??????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
man schreibt für die 0 diesen erst "kompliziert" aussehenden Ausdruck, damit man auf etwas bekanntes kommt.
Wenn du dir den Term von Angela nochmal genau ansiehst, dann kannst du noch ein u(x) ausklammern. Dann schaut das so aus:
[mm] $\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h}$ [/mm] und wenn du jetzt h gegen Null gehen lässt, hast du zweimal einen bekannten Differenzenquotienten da stehen, den du einmal als $u'(x)$ und einmal als $v'(x)$ schrieben kannst. So hast du dann als Ergebnis
$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x)$ bewiesen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Boah,danke an euch allen,die es mir erklärt haben,habs jetzt endlich gechekt.
lg ;)
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> warum hast du
Hallo,
ich will mich ja nicht mit fremden Federn schmücken: diese kluge Idee war nicht meine...
> für die 0 ,die du
> grün markiert hast u(x)*v(x+h) genommen??????
Dazu hat kroni Dir ja schon etwas gesagt, ich hätte sehr kurz geantwortet: "weil's damit funktioniert."
Das ist aber nicht Grund dieser Mitteilung, sondern -
Du mußt gut unterscheiden. Deine Aufgabe lautete: "Produktregel anschauen."
Du machst es völlig richtig, Du schaust nämlich nicht nur drauf, sondern Du versuchst die Sache nachzuvollziehen. Genau das ist es nämlich, was von Dir verlangt wird: die vorgedachten Gedanken nachzuvollziehen, verstehen und ggf. an der Tafel erklären zu können.
Was nicht von Dir verlangt wird, ist, diese Beweisidee selbst zu finden. Deshalb mußt Du Dir keine großen Sorgen machen, wenn Du das Gefühl hast, daß Dir diese Idee niemals selbst gekommen wäre.
Auch im Studium vollzieht man viele Beweise einfach nach.
Es übt ungemein, und je mehr solcher Dinge man aktiv durcharbeitet und nachvollzieht, desto besser kommen einem Ideen, wenn man selbst etwas beweisen möchte. Vieles ahmt man dann mit geringen Abwandlungen nach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,selbst wäre ich wahrscheinlich auch niemals auf die Idee gekommen,aber wie du schon sagtest,sollten wir das auch gar nicht,aber ich bin froh,dass ich es jetzt nachvollziehen kann ^^
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Gruß
