Produktreihe(???) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Do 09.12.2004 | | Autor: | amtrax |
Hi,
ich hab ihr ein Produkt [mm]\produkt_{k=2}^{n} 1-1/k^{2} [/mm]
Ich hab dieses Produkt dann umgeformt in [mm]\produkt_{k=2}^{n} k^{2}-1 [/mm], aber irgendwo scheint da noch nicht was zustimmen.
Die Aufgabe laute: Berechne das Produkt! Weiss da jemand weiter?
cya AmTraX
|
|
| |
|
Hallo!
> ich hab ihr ein Produkt [mm]\produkt_{k=2}^{n} 1-1/k^{2}[/mm]
>
> Ich hab dieses Produkt dann umgeformt in [mm]\produkt_{k=2}^{n} k^{2}-1 [/mm],
> aber irgendwo scheint da noch nicht was zustimmen.
>
> Die Aufgabe laute: Berechne das Produkt! Weiss da jemand
> weiter?
Also, so darfst du das glaube ich nicht machen - das ist doch schon gar nicht mehr das Gleiche...
Ich würde so anfangen:
[mm] \produkt_{k=2}^{n} 1-\bruch{1}{k^2}
[/mm]
[mm] =(1-\bruch{1}{4})(1-\bruch{1}{9})(1-\bruch{1}{16}) [/mm] ... [mm] (1-\bruch{1}{n^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{4}*\bruch{8}{9} [/mm] * [mm] \bruch{15}{16} [/mm] * ... * [mm] \bruch{n^2-1}{n^2}
[/mm]
hier müsste man dann eigentlich irgeneine Formel finden, wie sich das immer ändert (also im Zähler und Nenner erhöhen sich die Faktoren zuerst um 5, dann um 7, dann um....
Und für so etwas müsste es glaube ich dann auch eine Formel geben.
Vielleicht hilft es dir ja - viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:28 Do 09.12.2004 | | Autor: | amtrax |
Ich hab jetzt noch etwas rumprobiert und habe den Term dann so [mm] \produkt_{k=2}^{n} 1/k^{2}(k-1)(k+1)[/mm] umgewandelt. Bringt mich das irgendwie weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Do 09.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Ich hab jetzt noch etwas rumprobiert und habe den Term dann
> so [mm]\produkt_{k=2}^{n} 1/k^{2}(k-1)(k+1)[/mm] umgewandelt. Bringt
> mich das irgendwie weiter?
Ich wüsste nicht, wie, was aber nicht heißt, dass es nicht so weiter geht.
Aber ich kann deine Formel gar nicht genau lesen, stehen die Klammer am Ende im Zähler? So, wie du's geschrieben hast, könnten sie auch im Nenner stehen...
Ging's denn mit meinem Ansatz nicht weiter oder ist diese Formel da oben daraus entstanden?
MfG
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:18 Do 09.12.2004 | | Autor: | amtrax |
natürlich sollte [mm] 1/k^2 [/mm] in Klammer stehen. Also stehen dann 3 Produkte hinter dem Produktzeichen.
Dein Hinweis hat mich nicht wirklich weiter gebracht, da ich keine Formel für den Fall gefunden habe. Kann auch sein, dass ich zu kompliziert denke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Do 09.12.2004 | | Autor: | amtrax |
hat denn keiner eine idee, wie es mit dieser Aufgabe weiter geht? Ich hab mittlerweile zig ergebnisse raus und jedes Mal, wenn ich es aufs neu rechne kommt was anderes raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Amthrax,
nachdem ich auch nichts vernünftiges gefunden habe, dachte ich mir, ich rechne mal die Werte für ein paar n aus:
$n=2$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{3}{4}[/m]
$n=3$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{2}{3}[/m]
$n=4$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{5}{8}[/m]
$n=5$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{3}{5}[/m]
$n=6$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{7}{12}[/m]
$n=7$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{4}{7}[/m]
So ganz erkennt man daraus noch nicht das Schema, also schreiben wir das ganze nochmal anders:
$n=2$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{3}{4}[/m]
$n=3$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{4}{6}[/m]
$n=4$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{5}{8}[/m]
$n=5$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{6}{10}[/m]
$n=6$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{7}{12}[/m]
$n=7$ liefert für [mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$ [/mm] den Wert [m]\frac{8}{14}[/m]
Daher, denke ich, liegt die Vermutung nahe:
[mm] $(\star)$ $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$ [/mm]
Falls meine Vermutung stimmt, so wäre das über Induktion beweisbar. Das überlasse ich jetzt mal wieder dir. Hoffentlich stimmt meine Vermutung!
(Vielleicht sieht nun auch jemand, wie man [mm] $(\star)$ [/mm] direkt herleiten kann. Ich habe mich jetzt nicht allzulange mit der Aufgabe befasst.)
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
also, die Behauptung:
[mm] $\produkt_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$ [/mm]
läßt sich jedenfalls tatsächlich über Induktion nachweisen, ich habe es mal auf dem Papier gerechnet. Bekommst du das nun hin?
Viele Grüße,
Marcel
|
|
|
|
