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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 28.01.2009 | | Autor: | vivo |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Menge der offenen Quader [mm] (a,b):=\times_{i=1}^d (a_i,b_i); a_i,b_i \in\IR, [/mm] eine Basis ist für die Topologie der offenen Mengen in [mm] \IR^d. [/mm] |
Hallo,
hier muss ich doch zeigen, dass sich alle offenen Mengen in [mm] \IR^d, [/mm] aus Vereinigungen offener Quader bilden lasse, oder? Aber ist das nicht klar?
wie sieht den so eine offene Menge aus, das ist doch im Prinzip ein offener Quader ?
vielen Dank für eure Hilfe!
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Du stellst dir das nicht richtig vor. Nehmen wir den einfachen Fall [mm]d=2[/mm]. Betrachte einen Kreis [mm]K[/mm] ohne seinen Rand. Dann ist das eine offene Menge. Sie kann als Vereinigung offener Quadrate geschrieben werden. Dazu nimmst du irgendeinen Punkt [mm]p \in K[/mm] und legst ein kleines (achsenparalleles) Quadrat [mm]Q(p)[/mm] darum, so klein, daß es noch ganz im Innern des Kreises liegt. Und diesen Vorgang führst du für jeden Kreispunkt [mm]p[/mm] durch.
Dann gilt:
[mm]K = \bigcup_{p \in K} Q(p)[/mm]
Der Kreis ist also die Vereinigung geeigneter Quadrate. In diesem Fall ist die Indexmenge überabzählbar. Man käme aber sogar mit abzählbar vielen Quadraten aus (die Menge der Punkte mit rationalen Koordinaten liegt dich in der reellen Ebene). Sicher aber geht es nicht mit endlich vielen Quadraten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 28.01.2009 | | Autor: | vivo |
vielen Dank erstmal!
Ok, also muss ich jetzt irgendwie zeigen, dass sich alle offenen Mengen des [mm] \mathbb{R}^n [/mm] aus Vereinigungen offener Quader bilden lassen?
Sind alle offene Mengen des [mm] \mathbb{R}^n [/mm] gegeben durch
[mm]\{\{x \in \mathbb{R}^n : ||x-y|| < r \}; y \in \mathbb{R}^n , r \in \mathbb{R} \}[/mm] , also alle offenen Kugeln im [mm] \mathbb{R}^n [/mm] ????????????
wenn ja dann müsste jetzt gezeigt werden dass alle offenen Kugeln durch Vereinigungen offener Quader darstellbar sind, richtig?
dein Beispiel im [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] habe ich schon verstanden, aber leider weiß ich trotzdem nicht wie ich dass für den [mm] \mathbb{R}^n [/mm] zeigen soll.
Für weitere Hilfen bin ich sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank erstmal!
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> Ok, also muss ich jetzt irgendwie zeigen, dass sich alle
> offenen Mengen des [mm]\mathbb{R}^n[/mm] aus Vereinigungen offener
> Quader bilden lassen?
>
> Sind alle offene Mengen des [mm]\mathbb{R}^n[/mm] gegeben durch
>
> [mm]\{\{x \in \mathbb{R}^n : ||x-y|| < r \}; y \in \mathbb{R}^n , r \in \mathbb{R} \}[/mm]
> , also alle offenen Kugeln im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ????????????
Nein !! Was heißt denn offen ? Der [mm] \IR^n [/mm] ist offen, die vereinigung offener Mengen ist offen
>
> wenn ja dann müsste jetzt gezeigt werden dass alle offenen
> Kugeln durch Vereinigungen offener Quader darstellbar sind,
> richtig?
>
> dein Beispiel im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] habe ich schon verstanden,
> aber leider weiß ich trotzdem nicht wie ich dass für den
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] zeigen soll.
Genauso
FRED
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> Für weitere Hilfen bin ich sehr dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 28.01.2009 | | Autor: | vivo |
Genauso ??????!!!!!!!
also um jeden Punkt p einer offenen Kugel des [mm] \mathbb{R}^n [/mm] wird ein offener Quader Q(p) gelegt, so dass dieser noch ganz in der offenen Kugel ist. Dann besteht die Kugel aus der Vereinigung all deiser Quader
K = [mm] \bigcup [/mm] Q(p)
und deshalb ist die Menge aller offenen Quader eine Basis der Topologie der offenen Mengen im [mm] \mathbb{R}^n
[/mm]
????????????????????
vielen Dank für eure Antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm eine offene Menge G des [mm] \IR^n
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] G. Dann ex. eine offene Kugel K(x) mit K(x) [mm] \subseteq [/mm] G.
Weiter ex. ein offener Quader Q(x) mit Q(x) [mm] \subseteq [/mm] K(x). Es folgt: Q(x) [mm] \subseteq [/mm] G und damit:
[mm] \bigcup_{x \in G}^{}Q(x) [/mm] = G
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 28.01.2009 | | Autor: | vivo |
vielen dank!
die Basis ist ja nun überabzählbar. Reicht es nur offene Quader mit rationalen Endpunkten zu nehmen, wie in der ersten Antwort geschrieben wurde und vorallem warum ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Da [mm] \IQ^n [/mm] dicht in [mm] \IR^n [/mm] ist, kannst Du in meiner obigen Antwort den Quader Q(x) auch so wählen, dass er Eckpunkte in [mm] \IQ^n [/mm] hat.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Mi 28.01.2009 | | Autor: | vivo |
vielen Dank!
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