Programm um Reihen zu zeichnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | | Programm um Reihen zu zeichnen |
Hallo,
ich muss ein paar Reihen auf Konvergenz/Divergenz untersuchen und da wäre es natürlich hilfreich die Reihen zeichnen zu lassen.
Kennt jemand ein kostenloses Programm, mit dem man Reihen zeichnen kann?
Ich habe Microsoft Mathematics runtergeladen, aber damit kann man keine Reihen zeichnen :/
Danke =)
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Moin JanineH,
> Programm um Reihen zu zeichnen
Wolframalpha (ein Ableger von Mathematica) kann so etwas:
![[]](/images/popup.gif) Beispiel
Allerdings bezweifle ich, dass du daran schon viel sehen kannst. Die harmonische Reihe divergiert zum Beispiel, aber der Wert der Reihe nimmt immer langsamer zu.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hmm
Wolfram ist eigentlich nicht schlecht.
Es zeigt mir bis zum 1200sten Glied die Summe an.
Das sollte doch reichen, um entscheiden zu können ob eine Reihe divergiert oder konvergiert :D
Kennt jemand vielleicht noch ein offline Programm?
Manchmal habe ich kein Internet, oder mein Internet ist zu langsam^^
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Hallo Janine,
> Wolfram ist eigentlich nicht schlecht.
Da bin ich sogar euphorischer: Wolfram ist klasse.
> Es zeigt mir bis zum 1200sten Glied die Summe an.
> Das sollte doch reichen, um entscheiden zu können ob eine
> Reihe divergiert oder konvergiert :D
Leider ist das erstaunlich oft nicht so.
Es schadet aber auch nicht, sich erstmal einen Überblick zu verschaffen. Manche Reihen konvergieren schon deutlich früher, oder divergieren "sichtlich".
Entscheiden kannst Du verlässlich aber nach so einem Graphen nicht.
Stell Dir vor, die Summe wächst "kaum noch". Beim 1200*1200ten Glied (also dem 1.440.000) ist sie erst 2% höher als beim 1200ten. Und danach erst wieder beim nächsten Quadrat (das wäre dann [mm] 1200^4) [/mm] wären es nochmal 2% mehr.
Das Problem ist: das zeigt Dir kein Graph mehr, aber die Reihe ist trotzdem divergent.
> Kennt jemand vielleicht noch ein offline Programm?
> Manchmal habe ich kein Internet, oder mein Internet ist zu
> langsam^^
Nein, leider kein kostenloses. Aber vielleicht weiß jemand anders eins; ich lasse die Frage mal teilweise offen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Fr 24.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
die Reihe für [mm] e^{1000} [/mm] aber auch die für [mm] e^{100000000000000000} [/mm] konvergiert, aber sicher nicht in den ersten 1200 Schritten aber bis dahin ist sie deutlich größer als die divergente harmonische Reihe! Dein vorgehen ist die Ingenieurmethode z. Bsp primzahlen zu suchen,
3,5,7 sind primzahlen folgt alle ungeraden Zahlen sind primzahlen, noch zur sicherheit n2 große beliebig rausgesucht. 37,71 stimmt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
ich glaube ich verstehe was ihr meint.
habe auf meinem aufgabenblatt so eine reihe gefunden:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3Dsum+1%2F%28sqrt%28i%2A%28i%2B1%29%29%29++from+i%3D1+to+n
Man muss erst das notwendige Kriterium testen und schauen, ob die Reihe dieses erfüllt.
Habe limes gegen unendlich gebildet und die Reihe konvergiert gegen 0.
Jetzt muss man noch die Reihe mit dem hinreichendem Kriterium überprüfen.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(kü+1)}} [/mm] | hoch 2 nehmen
[mm] \gdw \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+k}
[/mm]
Die Differenz zwischen Zählergrad und Nennergrad ist 2. Also: Majorantenkriterium:
[mm] \bruch{1}{k^{2}+k} \le \bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
[mm] k^{2}+k \ge k^{2}
[/mm]
wahr.
also konvergiert die Reihe. Habe gestern abend versucht diese Reihe auf Konvergenz zu untersuchen und es hat irgendwie nicht geklappt. Jetzt klappts aber irgendwie :D
War gestern abend wohl zu müde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 24.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also die Folge konvergiert gegen 0, die Reihe nicht! Die Reihe ist ja die Summe von Folgengliedern.
Aber warum quadrierst du dort? Das kannst du nicht einfach machen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] divergiert ja (harmonische Reihe), aber wenn man die Folge quadriert, erhält man [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}, [/mm] und diese Reihe konvergiert aber!
Mach das lieber so: [mm] \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\approx \frac{1}{\sqrt{k^2}}=\frac{1}{k}, [/mm] also sollte sich deine Reihe ca. wie die harmonische Reihe verhalten (insbesondere also divergieren!). Also solltest du mit dem Minorantenkriterium ansetzen und versuchen, Divergenz zu zeigen, was in dem Fall hier sehr einfach geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Ich bin gerade wirklich am verzweifeln.
Mir wurde mal gesagt bezogen auf die Reihen:
1. Wenn (Zählergrad - Nennergrad) <= 1 --> Minorantenkriterium
2. Wenn (Zählergrad - Nennergrad) > 1 --> Majorantenkriterium
Dachte ich könnte da einfach quadrieren um die Wurzel wegzubekommen, damit ich ausrechnen kann wie groß die Differenz zwischen Zähler- und Nennergrad ist.
Bei Wurzeln kann ich einfach nicht erkennen welchen Grad das k hat.
z.B.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k^{2}}{\wurzel{k^{3} + 1}}
[/mm]
Der Nennergrad ist 2
Beim Zählergrad bin ich mir nicht sicher was die Wurzel mit dem Exponenten macht, oder betrachtet man einfach nur das k und lässt die Wurzel in Ruhe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 24.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass [mm] \wurzel{k^2}=k [/mm] den grad 1 hat sieht man doch und [mm] k^2+k^2>k^2+k [/mm] für k>2 also hat das den grad 1 [mm] \wurzel{k^4+k^3+k^2+k} [/mm] hat den Grad von [mm] k^2 [/mm] mit demselben Argument.In deinem Beispiel Nenner [mm] k^{1.5} [/mm] wieder [mm] k^3+1<2k^3 [/mm] für k>2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
ehrlich gesagt verstehe ich es nicht :/
[mm] \wurzel{k^{2}} [/mm]
k hat also den grad 1.
[mm] \wurzel{k^{3}+3k+2}
[/mm]
k hat den grad 1.5?
[mm] \wurzel{k^{7}+3k+2}
[/mm]
k hat den grad 3,5?
Schönen abend noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Fr 24.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Fr 24.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey
danke für die schnelle Antwort.
Ich habe es nochmal probiert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}
[/mm]
Nun habe ich das Minorantenkriterium mit der Vergleichsreihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
verwendet
[mm] \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}} \ge \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \wurzel{k(k+1)} \le [/mm] k |³
[mm] k^{2} [/mm] + k [mm] \le k^{2}
[/mm]
k [mm] \le [/mm] 0
Aber das kann doch nicht. Das hinreichende Kriterium ist nicht erfüllt.
Gilt dann automatisch dass die Reihe konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Fr 24.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Ich weiß nicht, was dieses Kriterium ist, wovon du sprichst!
Ja, also die Reihe divergiert. Es gilt
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}\ge\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(k+1)}}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k+1}.
[/mm]
Die Reihe ganz rechts divergiert, also divergiert die Reihe ganz links auch wegen dem Minorantenkriterium ("die rechte Seite ist unendlich und die linke Seite ist noch größer").
Das war es dann schon.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Sa 25.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Mit dem Minorantenkriterium zeigt man die Divergenz.
Man nimmt dann eine Reihe, die divergiert. Ich nehme immer:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
Nun zeigt man, dass die untersuchte Reihe größer gleich der Vergleichsreihe ist.
Wenn die untersuchte Reihe immer größer der Vergleichsreihe ist, dann divergiert die Reihe, weil man weiß, dass die Vergleichsreihe divergiert.
Ich glaube so hast du es auch gemacht.
Nur hast du eine andere Vergleichsreihe hinzugezogen.
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k+1}
[/mm]
Ich habe aber eine andere verwendet, die auch divergiert (siehe oben)
Verstehe einfach nicht, wieso es mit meiner Vergleichsreihe nicht klappt und mit deiner klappt es (habs gerade nachgerechnet)
Man muss doch einfach eine Reihe nehmen, die divergiert.
So und nun zeigt man einfach dass die zu untersuchende Reihe größer ist als die Vergleichsreihe. Wenn die Aussage wahr ist, dann ist die untersuchende Reihe divergent, weil die untersuchte Reihe größer ist als die Vergleichsreihe.
Aber das geht mit
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
nicht.
Ich verstehe einfach nicht was ich falsch mache :/
Gute Nacht :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Sa 25.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du falsch machst:
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}} \ge \bruch{1}{k} [/mm] $
ist falsch
$ [mm] \wurzel{k(k+1)} \le [/mm] $ k |³
$ [mm] k^{2} [/mm] $ + k $ [mm] \le k^{2} [/mm] $
k $ [mm] \le [/mm] $ 0
hier spätestens hättest du es merken müsse, denn du weisst ja k>0
du kannst nicht immer mit $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] $
vergleichen, obwohl das die richtige Idee ist. aber weil $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] $ divergiert, divergiert auch $ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{a*k}=1/a* \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] $
und hier hast du z. Bsp k*(k+1)<(k+1)*(k+1)und damit [mm] \wurzel{(k*(k+1)}
und damit hast du $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}} \ge \bruch{1}{2k}$
[/mm]
und jetzt hast du die divergenz.
Du hast einfach falsch abgeschätzt .also such nicht immer nach 1/k sondern auch mal nach 1/ak
a irgendeine feste Zahl!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:28 Sa 25.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey
danke für deine Antwort zu einer solch später Stund :)
Woher weißt du denn, welche Reihe man zur Abschätzung nehmen muss?
Ist das einfach nach Gefühl oder Erfahrung?
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Hallo JanineH.,
> Hey
> danke für deine Antwort zu einer solch später Stund :)
>
> Woher weißt du denn, welche Reihe man zur Abschätzung
> nehmen muss?
> Ist das einfach nach Gefühl oder Erfahrung?
Ja, ein Großteil ist Erfahrung und das Gefühl für die richtige Abschätzung.
Oft kann man sich einen Eindruck verschaffen, wenn man die "Größenordung" der Reihe betrachtet.
Dann muss man natürlich entsprechende ganz typische und immer wiederkehrende Vergleichsreihen kennen:
Für Divergenz: Die harmonische Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm] oder allgemein die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s\le 1[/mm]
Für Konvergenz: geometrische Reihe, Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] für [mm]s>1[/mm]
Die harmonische Reihe (für [mm]s=1[/mm]) ist also genau die "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Fr 24.06.2011 | | Autor: | abakus |
> hallo
> die Reihe für [mm]e^{1000}[/mm] aber auch die für
> [mm]e^{100000000000000000}[/mm] konvergiert, aber sicher nicht in
> den ersten 1200 Schritten aber bis dahin ist sie deutlich
> größer als die divergente harmonische Reihe! Dein
> vorgehen ist die Ingenieurmethode z. Bsp primzahlen zu
> suchen,
> 3,5,7 sind primzahlen folgt alle ungeraden Zahlen sind
> primzahlen, noch zur sicherheit n2 große beliebig
> rausgesucht. 37,71 stimmt!
Hallo leduard,
die Methode geht geringfügig anders:
3 - Primzahl
5 - Primzahl
7 - Primzahl
9 - Messfehler
11 - Primzahl ...
Gruß Abakus
> Gruss leduart
>
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