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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Die Matrix [mm] M=\pmat{ \bruch{8}{9} & -\bruch{2}{9} & -\bruch{2}{9} \\ -\bruch{2}{9} & \bruch{5}{9} & \bruch{4}{9} \\ -\bruch{2}{9} & -\bruch{4}{9} & \bruch{5}{9} } [/mm] prjoziert den Raum orthogonal auf die Ebene E:x+2y+2z=0.
Begründen Sie,dass [mm] M^{2}=M [/mm] gilt und die Matrix M keine inverse Matrix haben kann. |
Hallo^^
Ich komme bei der Aufgabe an einer Stelle nicht mehr weiter.
Also dass [mm] M^{2}=M [/mm] gilt,hab ich gezeigt,indem ich es ausgerechnet habe.Aber eine anschauliche Begründung finde ich dafür nicht.Vielleicht hat es irgendwas mit der Projektion zu tun?
Und wenn eine Matrix eine Inverse hat,muss ja die Matrix mit der Inversen multipliziert die Einheitsmatrix ergeben,aber ich versteh nicht warum diese Matrix keine Inverse haben kann???
Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich hier rangehen kann?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
hast du das alles richtig eingetippt?
Ich komme weder auf [mm] $M^2=M", [/mm] noch darauf, dass $M$ nicht invertierbar ist.
Ich habe die Determinante ausgerechnet (nach "Rausziehen von 9 aus alles Zeilen), und die ist [mm] $\neq [/mm] 0$
Also ist die von dir angegebene Matrix inivertierbar
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
da es hier ja weniger um die Matrix geht als um die Begründungen auf Basis der Projektionseigenschaft, beantworte ich trotzdem mal:
> Die Matrix [mm]M=\pmat{ \bruch{8}{9} & -\bruch{2}{9} & -\bruch{2}{9} \\ -\bruch{2}{9} & \bruch{5}{9} & \bruch{4}{9} \\ -\bruch{2}{9} & -\bruch{4}{9} & \bruch{5}{9} }[/mm]
> prjoziert den Raum orthogonal auf die Ebene E:x+2y+2z=0.
> Begründen Sie,dass [mm]M^{2}=M[/mm] gilt und die Matrix M keine
> inverse Matrix haben kann.
> Hallo^^
>
> Ich komme bei der Aufgabe an einer Stelle nicht mehr
> weiter.
> Also dass [mm]M^{2}=M[/mm] gilt,hab ich gezeigt,indem ich es
> ausgerechnet habe.Aber eine anschauliche Begründung finde
> ich dafür nicht.Vielleicht hat es irgendwas mit der
> Projektion zu tun?
Genau.
In der Aufgabenstellung steht netterweise: M projiziert den Raum orthogonal auf die Ebene x+2y+2z = 0.
Wenn ich also irgendeinen Vektor aus dem Vektorraum nehme und die Abbildung darauf anwende, erhalte ich einen Vektor, der in der Ebene x+2y+2z = 0 liegt. Der Ort dieses Vektors in der Ebene wird wie beschrieben durch eine "orthogonale Projektion" bestimmt, d.h., es wird das Lot des Vektors auf die Ebene gefällt.
Nun mal ein anderes, leichteres Beispiel.
Wir nehmen mal die orthogonale Projektion, die den [mm] \IR^{3} [/mm] - Raum auf die x-y-Ebene projiziert.
Die Abbildung macht also im Wesentlichen Folgendes mit einem gegebenen Punkt: Die z-Koordinate wird einfach zu "0", es ist also so, als würdest du von "oben" drauf gucken, und das ist dann das Ergebnis.
Ist also [mm] v\in\IR^{3}, [/mm] dann ist M*v in der x-y-Ebene. Wenn ich jetzt nochmal M auf M*v anwende, also nochmal von oben auf die x-y-Ebene draufschaue, passiert dann nochwas?
Nein.
Genau so ist es mit deiner Projektion, so ist es mit jeder Projektion.
> Und wenn eine Matrix eine Inverse hat,muss ja die Matrix
> mit der Inversen multipliziert die Einheitsmatrix
> ergeben,aber ich versteh nicht warum diese Matrix keine
> Inverse haben kann???
> Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich hier rangehen
> kann?
Überlege dazu, welche Dimension das Bild hat!
Es gilt dim(Bild(M)) = Rang(M).
Eine Matrix M ist invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
Grüße,
Stefan
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