Projektion: Sur- und Injektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Azarazul |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum, P eine Projektion ( d.h. eine K-Lineare Abbildung mit $P:V [mm] \to [/mm] V; P(x) = P(P(x)) $ ).
Zeigen Sie, dass für P gilt:
$$ kern(P) [mm] \oplus kern(id_v-P) [/mm] = V$$
(die direkte, innere Summe ist gemeint) |
Hallo liebe Community,
P scheint soetwas ähnliches, wenn nicht das gleiche zu sein, wie [mm] $id_v$, [/mm] also die identische Abbildung. Ich würde gerne zeigen, dass
P surjektiv ist, daraus würde ja sofort folgen, dass P injektiv und damit $kern(P) [mm] =\{ \vec{0} \}$ [/mm] sein muss, dann muss ich nur noch zeigen, dass
$ [mm] bild_k(P) =kern(id_v-P) [/mm] $ oder ?
Reicht das ? Wäre das korrekt ? oder ist das viel zu umständlich ?
Ich schaffe es leider einfach nicht, entweder surjektivität oder injektivität von P zu zeigen (diese $P(P(x)) = P(x)$ Eigenschaft und auch die Linearität, hilft irgendwie nur mäßig)...
Könntet ihr einen Ansatz bieten?
Vielen Dank,
aza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> P scheint soetwas ähnliches, wenn nicht das gleiche zu
> sein, wie [mm]id_v[/mm], also die identische Abbildung. Ich würde
Wieso sollte es so etwas ähnlich sein? Was meinst du mit "ähnlich"?
Also das Gleiche ist es auf jeden Fall nicht!
> gerne zeigen, dass
> P surjektiv ist, daraus würde ja sofort folgen, dass P
> injektiv und damit [mm]kern(P) =\{ \vec{0} \}[/mm] sein muss, dann
P ist im Allgemeinen weder surjektiv noch injektiv.
> muss ich nur noch zeigen, dass
> [mm]bild_k(P) =kern(id_v-P)[/mm] oder?
Ja, du könntest in der Tat erstmal zeigen, dass [mm]\operatorname{Bild} P = \operatorname{Kern} (id_V - P)[/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Azarazul |
Ok, ich habe das jetzt gezeigt, also dass $ bild(P) = [mm] kern(id_v-P)$. [/mm] Doch wie gehe ich weiter vor ? Meine Idee von dem ganzen ist immer noch, dass, wenn Bild und Kern zusammen ganz V ausfüllen sollen und zwar mit Schnitt 0, dass dann
$$ [mm] kern_K(P) [/mm] = [mm] \{ \vec{0} \}, \, bild_K(P)=V [/mm] $$
gelten muss. könnte ich irgendwas davon zeigen, würde der Dimensionssatz mir den Rest abnehmen, nicht wahr ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 05.12.2009 | | Autor: | andreas |
hi
um dir zu zeigen, dass die idee zu zeigen, dass $P$ surjektiv ist, nicht zum ziel führen kann, betrachte $P: [mm] K^2 \longrightarrow K^2; [/mm] (x, y) [mm] \longmapsto [/mm] (x , 0)$.
probiere besser direkt (der definition der direkten summe folgend) zu zeigen, dass die beiden angegeben untervektorräume schnittfrei sind und finde für $v [mm] \in [/mm] V$ eine darstellung als summe aus elementen der beiden angegeben untervektorräumen (wie würde das denn in obigem beispiel aussehen?)
grüße
andreas
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