Projektion, dim < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:20 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo zusammen, habe wieder eine konkrete Aufgabe. ich brauche wieder Hilfe. Danke schon mal.
Sei [mm] V=\IR^{4} [/mm] und U von den Vektoren [mm] u_{1}=(1,1,-1,-1), u_{2}=(1,0,1,0) [/mm] erzeugte Unterraum.
Sei p:V [mm] \to [/mm] V/U die Projektion v [mm] \to [/mm] v+U. Seien
[mm] R_{1}=span{(0,1,0,-1),(1,1,1,-1),(-1,0,1,0)}
[/mm]
[mm] R_{2}=span{(0,1,0,-1),(1,0,0,0)}
[/mm]
Bestimmen Sie die Dimension der Unterräume [mm] p(R_{1}),p(R_{2}) \subset [/mm] V/U
Was ich hier nicht verstehe ist die Abbildung p.
Was macht p?
z.B.
p((0,1,0,-1))= ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 20.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hallo!
> Sei p:V [mm]\to[/mm] V/U die Projektion v [mm]\to[/mm] v+U. Seien
>
> [mm]R_{1}=span{(0,1,0,-1),(1,1,1,-1),(-1,0,1,0)}[/mm]
> [mm]R_{2}=span{(0,1,0,-1),(1,0,0,0)}[/mm]
> Bestimmen Sie die Dimension der Unterräume
> [mm]p(R_{1}),p(R_{2}) \subset[/mm] V/U
> Was ich hier nicht verstehe ist die Abbildung p.
> Was macht p?
Also p ist die kanonische Projektionsabbildung auf den Quotientenvektorraum V/U. Dieser Quotientenvektorraum besteht anschaulich gesehen aus "Ebenen", also parallelen Hyperebenen zu U.
Man rechnet also in dem Vektorraum V/U mit Hyperebenen. Eine HYperebene kann man wie in der Schule darstellen durch Ortsvektor v und dort addiert man einen "Unterraum", daher v+U. Dabei kann v+U=w+U sein, auch wenn v [mm] \ne [/mm] w, denn wie Du dich bestimmt erinnerst, ist der Ortsvektor einer Ebene nicht eindeutig. Das besondere ist, dass die Addition in diesem Quotientenvektorraum "wohldefiniert" ist, das heißt, dass wenn man zwei dieser "Hyperebenen" addiert (das ist definiert allein durch die Addition der beiden "Ortsvektoren" und erneutem dranhängen von U), so ist es egal, welche Darstellung (d.h. welchen Ortsvektor) man für die Hyperebenen nimmt (in der Fachsprache, die definierte Addition ist unabhängig von ausgewählten Repräsentanten, führt also in beiden Fällen zum selben Ergebnis).
> z.B.
>
> p((0,1,0,-1))= ?
Das weißt Du jetzt, oder?
Viele Grüße,
Jazzy
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Dankeschön,
Ich werde jetzt die Bücher mal an gucken. Kannst du villeicht, bei diesem Bespsiel mir zeigen wie es geht.
Was die Bilder sind von disem Abbildung?
Dann verstehe ch es besser mit einem Bespiel. Ich muss ja Dimenssion bestsimmen. Dafür brauche ich ja die Bilder.
Kannst du bitte mit meienm Beispiel mir zeigen? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 20.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Was die Bilder sind von disem Abbildung?
> Dann verstehe ch es besser mit einem Bespiel. Ich muss ja
> Dimenssion bestsimmen. Dafür brauche ich ja die Bilder.
eigentlich nicht so wirklich: die Dimension von V ist hier doch 4 (oder?), die Dimension von V/U ist [m]dim(V)-dim(U)=2[/m](dim(U) war doch 2?), der Kern der Projektion ist genau U.Weiter also: du bildest einen Unterraum W mittels einer linearen Abbildung auf einen anderen Raum ab. Dann gilt: [m]dim(W)=dim(Kern(f|_W)+dim(Bild(f|_W)[/m] (Dimensionsformel). Dimension des Kerns: Schnitt aus U mit W, und dann die Dimension davon bestimmen.
Natürlich kann man auch die Bilder direkt bestimmen - aber vor allem muss einem der Kern der Abbildung klar sein!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 20.07.2005 | | Autor: | NECO |
Danke dir erstmal. Was ich so wissen will, ist die Abbildung.
Wie sehen die Bilder aus. Wie ändern sich die Vektoren.? Das möchte ich wissen. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Do 21.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Danke dir erstmal. Was ich so wissen will, ist die
> Abbildung.
Häh? ICh verstehe nicht, was du da genau wissen willst. Die Abbildung wurde dir doch oben schon genau hingeschrieben ... (abgesehen von der mißbräuchlichen verwendung von Hyperebene ...)
> Wie sehen die Bilder aus.
Sinf für Unterräume haöt auch Unterräume. Mann kann sich manchmal eine Anschaung antun - aber mal ehrlich: bei 4 Dimensionen höhrt es doch meistens auf?!? Also bleibt einem a priori erstmal das jeder Vektor auf seine Äquivalöenzklasse abgebildet wird, und dann kann man sich mit dme Kern noch was überlegen. Oder was möchtest du hier?
> Wie ändern sich die Vektoren.?
Hm? So wie sie sich halt ändern, wenn man von enem 4 dimensionalen VR in eienn 2 dimensionalen geht.
> Das möchte ich wissen. Danke
Ich verstehe nicht ganz, *was* du willst.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:46 Do 21.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo,
bei diser Aufagbe, habe ich ja Vektoren vorgegeben bekommen. Was soll ich mit disem vektoren machen.
Wieso hat man hier dann Vektoren gegeben. Oder ist das nur so vorgegeben damit ich weiß, um welchen Unterraum es geht?
Muss man irgend wie mit disem vektoren nicht rechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 21.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
SEcki hat doch eigentlich schon alles gesagt, aber ich fasse es mal als Schrittfolge zusammen:
1) Dein gegebener Unterraum W hat eine bestimmte Dimension (R1 hat Dimension 3 usw...)
2) Bestimme den Schnitt von W und U - insbesondere bestimme die Dimension des Schnittes !
3) dann ist
dim (p (W) ) = dim(W) - dim(Schnitt)
und das war's dann schon. (mache dies für beide gegebenen Unterräume)
Die speziellen Spann-Vektoren brauchst du natürlich um den Schnitt mit dem speziell gegebenen U zu berechnen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Do 21.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
> ... (abgesehen von der mißbräuchlichen verwendung von
> Hyperebene ...)
Jaja, stimmt, ist mir dann auch aufgefallen ;) Hatte irgendwie 2dimensionale UR im 3dimensionalen im Kopf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 Do 21.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich antworte auch hier nur mal kurz, weil alles eigentlich schon gesagt wurde.
Dir scheint die Abbildung nicht ganz klar zu sein, also wir fangen mal an eine spezielle Basis zu basteln:
1) nimm eine Basis von U (zweidimensional)
2) ergänze diese mit einer Basis von V (nochmal zwei Vektoren dazu)
dann sei ein beliebig gegebener Vektor v in dieser Basisdarstellung gegeben, dann ist das Bild leicht zu bestimmen:
$p [mm] \left( \vektor{v_1 \\ v_2\\v_3 \\v_4} \right) =\vektor{0\\0\\v_3 \\ v_4}$
[/mm]
nun hast du deine Vektoren ja nicht in dieser Basisdarstellung gegeben, aber man kann sich leicht eine  Transformationsmatrix basteln, wenn man für obige Schritte 1 und 2 insgesamt vier spezielee Vektoren gewählt hat. D.H. zuerst in neue Basisdarstellung umwandeln, dann die Projektion oben anwenden.
Nun sollte auch klar sein, was die Abbildung überhaupt macht:
Wenn du einen Vektor (bzw. alle Vektoren eines Unterraumes) hast, dann wird die Komponente in U einfach "vergessen" und man konzentriert sich nur noch auf all das, was nicht in U ist - dies ist dann das Bild.
Dann ist $p(v)=v'$, wobei v' eben keine Komponente in U haben soll und dann ist $v [mm] \in [/mm] v'+U$ .
Aber wie gesagt - du musst hier nicht wirklich mit den tatsächlichen Bildern rummachen, dazu müsstest du ja auch eine spezielle Basis wählen - es reicht die Dimension des Schnittes zu betrachten.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 21.07.2005 | | Autor: | NECO |
> Sei [mm]V=\IR^{4}[/mm] und U von den Vektoren [mm]u_{1}=(1,1,-1,-1), u_{2}=(1,0,1,0)[/mm]
> erzeugte Unterraum.
>
> Sei p:V [mm]\to[/mm] V/U die Projektion v [mm]\to[/mm] v+U. Seien
>
> [mm]R_{1}=span{(0,1,0,-1),(1,1,1,-1),(-1,0,1,0)}[/mm]
> [mm]R_{2}=span{(0,1,0,-1),(1,0,0,0)}[/mm]
Hallo Mathematiker/in, Ich musste es eigentlich wissen. Wie bestimmt man nochmal die Schnitt von zwei Untervektorräumen.
z.b von [mm] R_{2}=span{(0,1,0,-1),(1,0,0,0)}[/mm]
[/mm]
und U.
Schreibt man die Vektoren untereinander, und löst das homogenen LGS oder?
Oder löst man zuerst für beide Vektorraume das homogene einzeln LGS, und dann von den Lösungsräumen das homogone LGS.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 22.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Schreibt man die Vektoren untereinander, und löst das
> homogenen LGS oder?
>
> Oder löst man zuerst für beide Vektorraume das homogene
> einzeln LGS, und dann von den Lösungsräumen das homogone
> LGS.
Ich sehe jetzt nicht ganz durch, was jetzt nun welches System sein soll, deshalb hier mal der simple Ansatz:
Im Schnitt liegen alle Vektoren v, die eine Darstellung in U haben und eine Darstellung in [mm] R_2 [/mm] , und weil v=v gilt (nur eben in den verschiedenen Darstelungen) muss gelten:
$ [mm] t*\vektor{1\\1\\-1\\-1}+s*\vektor{1\\0\\1\\0}=x*\vektor{0\\1\\0\\-1}+y*\vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] $
also musst du die Dimension des Lösungsraumes von $ [mm] \pmat{1&1&0&-1\\1&0&-1&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0}*\vektor{t\\s\\x\\y}=\vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] $ betrachten.
(Hinweis die rechte Seite auf die Linke gebracht erzeugen Vorzeichenänderungen)
bei [mm] R_1 [/mm] erhälst du ein unterbestimmtes Gleichungssystem, also ist klar, welche Dimension das mindestens hat, oder?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 22.07.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo
Danke dir erstmal.
Und wie macht man wenn man Basis von U+V finden will?
Ich habe oben für die Summen nicht so ganz verstanden. Muss man alle sechs Vektoren als Spalten schreiben oder wie geht das? nDanke
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Hallo NECO,
Könnte es sein, dass Du diese Frage versehentlich an den falsche Strang angehängt hat? In diesem Strang, habe ich jedenfalls nichts, über eine Summe U+V gelesen.
Wohl aber in dem anderen Strang. Ich gehe mal davon aus, dass sich die Frage darauf bezieht.
> Und wie macht man wenn man Basis von U+V finden will?
> Ich habe oben für die Summen nicht so ganz verstanden.
> Muss man alle sechs Vektoren als Spalten schreiben oder wie
> geht das?
Es sind sogar 9 Vektoren, Nämlich u1+v1, u1+v2, u1+v3, u2+v1, u2+v2, u2+v3, u3+v1, u3+v2, und u3+v3. Die schreict man als Spalten, fass sie zu einer Matrix zusammen, und bringt diese auf Stufenform. Da der Summenraum als Summe von zwei 3-dim UVR, wieder 3-dim ist, braucht man 3 Basisvektoren. Die wählt man aus den Spalten, in denen die Pivots stehen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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