Projektion einer Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
Hallo Leute
ich bin am verzweifeln kann mir jemand die Projektion vom R3 auf einem R2 Raum erläutern
Ich will das mal allgemein halten
A = [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] diese soll auf der X1-X2-Ebene Projetiert werden
d.h. doch mal [mm] \vec{x} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }* \vec{x} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }= \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
bin für jede Hilfe dankbar
LG Godchie
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Hi,
> Hallo Leute
>
> ich bin am verzweifeln kann mir jemand die Projektion vom
> R3 auf einem R2 Raum erläutern
>
> Ich will das mal allgemein halten
>
> A = [mm]\pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }[/mm]
> diese soll auf der X1-X2-Ebene Projetiert werden
????
>
> d.h. doch mal [mm]\vec{x}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A = [mm]\pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }* \vec{x}[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }= \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Das ist Unsinn. Matrix * Vektor = Vektor, nicht wieder eine Matrix.
>
> bin für jede Hilfe dankbar
>
> LG Godchie
Du drückst dich sehr missverständlich aus, deswegen mal ein paar grundlegende Sachen dazu:
Eine Projektion ist ja eine Abbildung. Du hast also zu Beginn einen Vektor im [mm] \IR^{3} [/mm] und dann bildest du diesen Vektor auf einen anderen Vektor ab, der bei dir im [mm] \IR^{2} [/mm] liegen soll.
Wie sieht jetzt so eine Abbildung aus, die einen Vektor verändern kann?
Nun ja, das ist z.B. eine 3x3 Matrix, die auf diesen Vektor angewendet wird.
Also in deinem Beispiel (Projektion auf [mm] x_1-x_2-Ebene) [/mm] brauchst du eine Matrix, die folgendes macht: [mm] $A*\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] = [mm] \vektor{a_1 \\ a_2 \\ 0}
[/mm]
Du solltest am besten auch ein bisschen was über Abbildungsmatrizen wissen, z.B. dass es eine Einheitsmatrix gibt, die einen Vektor unverändert lässt.
Die hat auf der Diagonale Einser und sonst nur Nuller. Wenn du nachgeschaut hast, wie das nochmal mit Matrix mal Vektor funktioniert, kannst du das testen.
In Formeln aufgeschrieben: [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}*\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}= \vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$
[/mm]
Von da aus kommst du vielleicht selbst auf eine Idee, was du an dieser Matrix ändern musst, damit der dritte Eintrag im Bildvektor IMMER 0 ergibt, die anderen beiden aber unverändert bleiben.
lg weightgainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:05 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
Hallo weightgainer
darf ich eine Matrix z.B. A = [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] folgendermassen zerlegen
A1 = [mm] \pmat{ a11 \\ a21 \\ a31 }
[/mm]
A2 = [mm] \pmat{ a12 \\ a22 \\ a32 }
[/mm]
A3 = [mm] \pmat{ a13 \\ a23 \\ a33 }
[/mm]
diese dann multiplizieren mit meinem [mm] \vec{x}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
A1 = [mm] \pmat{ a11 \\ a21 \\ a31 } [/mm] * [mm] \vec{x}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ a11 \\ a21 \\ 0 }
[/mm]
A2 = [mm] \pmat{ a12 \\ a22 \\ a32 } [/mm] * [mm] \vec{x}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ a12 \\ a22 \\ 0 }
[/mm]
A3 = [mm] \pmat{ a13 \\ a23 \\ a33 } [/mm] * [mm] \vec{x}*\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ a13 \\ a23 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A = A = [mm] \pmat{ a11 & a12 & 0 \\ a21 & a22 & 0 \\ a31 & a32 & 0 }
[/mm]
oder ist das totaler quark was ich da rechne ???
Was muss ich den mit einer Matrix machen um eine Projektionsmatrix auf der X1-X2-Ebene zu erhalten ??
Das mit den Abbildungsmatrix hab ich mir bereits durchgelesen, aber ich würde gerne wissen ob ich dass so richtig verstanden habe.
Sorry, hab bei der ersten frage das ganze etwas heftig abgekürzt
LG Godchie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
Hab hier einen kleinen Tippfehler
> [mm]\Rightarrow[/mm] A = A = [mm]\pmat{ a11 & a12 & 0 \\ a21 & a22 & 0 \\ a31 & a32 & 0 }[/mm]
>
sollte eigentlich
[mm] \Rightarrow[/mm] [/mm] A = A = [mm][mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
werden
LG Godchie
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Hallo,
schon das Ansinnen, eine Matrix zu projizieren, finde ich irgendwie seltsam.
Ich glaube, es wäre klug, uns einmal den exakten Wortlaut Deiner Aufgabe mitzuteilen, ohne Verkürzungen und Ausschmückungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
| Aufgabe | Es sei die Matrix
P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Zeigen Sie, dass P die Matrix einer Projektion auf die x1-x2-Ebene ist. Geben Sie außerdem den Kern der Projektion an. |
So sieht meine Aufgabe aus
LG Godchie
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> Es sei die Matrix
>
> P = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass P die Matrix einer Projektion auf die
> x1-x2-Ebene ist. Geben Sie außerdem den Kern der
> Projektion an.
> So sieht meine Aufgabe aus
Hallo,
ja, so ist sie auch sinnvoll.
Gegeben ist also hier die Matrix P, und Du sollst zeigen, daß die Abbildung, deren Darstellungsmatrix sie ist, eine Projektion auf die [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] ist.
Um dies zu tun, solltest Du erstmal nachschlagen, was eine Projektion überhaupt ist. Was denn?
Bestimmen kannst Du auf jeden Fall aber schonmal den Kern der Matrix/Abbildung.
Wie ist der Kern einer Matrix definiert?
Und das Bild zu bestimmen, könnte auch lohnend sein, denn dann weißt Du, auf welchen Unterraum projiziert wird.
Gruß v. Angela
> LG Godchie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
Hallo angela.h.b.
> Um dies zu tun, solltest Du erstmal nachschlagen, was eine
> Projektion überhaupt ist. Was denn?
Eine Projektion ist eine Abbildung z.B. eines Würfels auf einer Ebene abhängig vom Projektions winkel entsteht dann entweder ein Quadrat oder ein in die längegezogenes Quadrat (mir fällt keine bessere beschreibung ein)oder ein Rechteck, aber egal in meinem Fall ist es ja eine senkrechte projektion, die einen Würfel als Quadrtat darstellen würde.
> Bestimmen kannst Du auf jeden Fall aber schonmal den Kern
> der Matrix/Abbildung.
> Wie ist der Kern einer Matrix definiert?
da ja x1 und x2 dargestellt werden müsste der Kern [mm] \Rightarrow [/mm] ker f = [mm] {\vektor{ 0 \\ 0 \\ z }}, [/mm] z [mm] \in \IR [/mm] sein.
> Und das Bild zu bestimmen, könnte auch lohnend sein, denn
> dann weißt Du, auf welchen Unterraum projiziert wird.
Das bild ist doch eigentlich eine Teilmenge der Ursprungsmatrix bzw. es hängt von der Funktion ab durch die Projeziert wird.
im f(z) = [mm] \IR [/mm] das wäre jetzt geraten naja
Ist mein Ansatz zumindes annähernd richtig ??
LG Godchie
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> Hallo angela.h.b.
>
>
> > Um dies zu tun, solltest Du erstmal nachschlagen, was eine
> > Projektion überhaupt ist. Was denn?
>
> Eine Projektion ist eine Abbildung z.B. eines Würfels auf
> einer Ebene abhängig vom Projektions winkel entsteht dann
> entweder ein Quadrat oder ein in die längegezogenes
> Quadrat (mir fällt keine bessere beschreibung ein)oder ein
> Rechteck, aber egal in meinem Fall ist es ja eine
> senkrechte projektion, die einen Würfel als Quadrtat
> darstellen würde.
>
> > Bestimmen kannst Du auf jeden Fall aber schonmal den Kern
> > der Matrix/Abbildung.
> > Wie ist der Kern einer Matrix definiert?
>
> da ja x1 und x2 dargestellt werden müsste der Kern
> [mm]\Rightarrow[/mm] ker f = [mm]{\vektor{ 0 \\ 0 \\ z }},[/mm] z [mm]\in \IR[/mm]
> sein.
Falsch.
Der Kern sind die Elemente, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Wenn man die Matrix schon hat, dann lässt sich der Kern am einfachsten wie folgt berechnen:
Ansatz:
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\b \\c} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] $
Liefert die Bedingung:
[mm] $\vektor{a - c \\ b \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Also werden alle Vektoren auf den Nullvektor abgebildet, die die Gestalt [mm] $\vektor{a \\ 0 \\a }$ [/mm] mit einem beliebigen $a [mm] \in \IR$ [/mm] haben. Das ist der Kern(P).
Das Bild kannst du im Prinzip auf gleiche Weise bekommen - du lässt P auf einen beliebigen Vektor los und dann schaust du, welche Gestalt der Bildvektor hat.
In diesem Fall steht der schon oben, also ist [mm] $\vektor{a - c \\ b \\ 0}$ [/mm] das Bild des Vektors [mm] $\vektor{a \\ b \\ c}$
[/mm]
Naja, aber eigentlich solltest du ja nur nachweisen, dass die Projektion in die [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] geht und das steht ja da, weil bei jedem Bildvektor die [mm] x_3-Komponente [/mm] Null ist.
>
> > Und das Bild zu bestimmen, könnte auch lohnend sein, denn
> > dann weißt Du, auf welchen Unterraum projiziert wird.
>
>
> Das bild ist doch eigentlich eine Teilmenge der
> Ursprungsmatrix bzw. es hängt von der Funktion ab durch
> die Projeziert wird.
>
> im f(z) = [mm]\IR[/mm] das wäre jetzt geraten naja
>
> Ist mein Ansatz zumindes annähernd richtig ??
Da stand kein Ansatz, nur falsche Lösungen ohne Lösungsweg.
>
> LG Godchie
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Godchie |
Hallo
erstmal vielen Dank für die Hilfe
ich möchte das ganze aber noch komplet verstehen könnte mir jemand eine ausführliche Beispiel Aufgaben
posten in der eine Projektionsmatrix aus einer Ebene oder Geraden entsteht.
Da wäre ich wirklich dankbar für.
vielen Dank im vorraus
LG Godchie
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Was meinst du genau?
Soll z.B. eine Ebene gegeben werden, etwa [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 5$ und du willst die Matrix ausrechnen, die den [mm] \IR^{3} [/mm] auf diese Ebene abbildet?
Oder willst du einen Kern vorgeben und dazu eine Matrix ausrechnen?
Oder willst du die Matrix wissen, die den [mm] \IR^{3} [/mm] auf die [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] projiziert?
Oder noch etwas anderes?
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> > Um dies zu tun, solltest Du erstmal nachschlagen, was eine
> > Projektion überhaupt ist. Was denn?
>
> Eine Projektion ist eine Abbildung z.B. eines Würfels auf
> einer Ebene abhängig vom Projektions winkel entsteht dann
> entweder ein Quadrat oder ein in die längegezogenes
> Quadrat (mir fällt keine bessere beschreibung ein)oder ein
> Rechteck, aber egal in meinem Fall ist es ja eine
> senkrechte projektion, die einen Würfel als Quadrtat
> darstellen würde.
Hallo,
das ist zuviel Laberlaber.
Ich gehe, auch wenn in Deinem Profil nichts steht, davon aus, daß Du eine Mathematikvorlesung hörst.
Ich hätte jetzt sowas erwartet in dem Stile von "Eine Abbildung [mm] \pi: ...\to [/mm] ... heißt Projektion, wenn ...".
Irgendsowas wird doch dran gewesen sein. (?)
Gruß v. Angela
>
> > Bestimmen kannst Du auf jeden Fall aber schonmal den Kern
> > der Matrix/Abbildung.
> > Wie ist der Kern einer Matrix definiert?
>
> da ja x1 und x2 dargestellt werden müsste der Kern
> [mm]\Rightarrow[/mm] ker f = [mm]{\vektor{ 0 \\
0 \\
z }},[/mm] z [mm]\in \IR[/mm]
> sein.
>
> > Und das Bild zu bestimmen, könnte auch lohnend sein, denn
> > dann weißt Du, auf welchen Unterraum projiziert wird.
>
>
> Das bild ist doch eigentlich eine Teilmenge der
> Ursprungsmatrix bzw. es hängt von der Funktion ab durch
> die Projeziert wird.
>
> im f(z) = [mm]\IR[/mm] das wäre jetzt geraten naja
>
> Ist mein Ansatz zumindes annähernd richtig ??
>
> LG Godchie
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