Projektion eines Vektors < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Do 09.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & -3 } [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b} [/mm] .
Ich hab's so gemacht:
a auf b: [mm] \vec{a}_{b} [/mm] = [mm] \vektor{\vec{b} \* \vec{a} \\ \vmat{ \vec{b} }^{2}} \* \vec{a} [/mm] (soll heißen oben geteilt durch unten!)
Für [mm] \vec{b} \* \vec{a} [/mm] bekomme ich 20 raus.
Für [mm] \vmat{ \vec{b} } [/mm] bekomme ich 7 raus
Damit lautet das Ergebnis [mm] \vektor{ \bruch{20}{49} } \* \vec{a} [/mm] = 0,4082 [mm] \* \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0,82 \\ 0,82 \\ 0,4082 }
[/mm]
Ist das richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jan
> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 & -3 }[/mm]
> und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 }[/mm]
>
> Berechnen Sie die Projektion von [mm]\vec{a}[/mm] auf [mm]\vec{b}[/mm] .
>
> Ich hab's so gemacht:
> a auf b: [mm]\vec{a}_{b}[/mm] = [mm]\vektor{\vec{b} \* \vec{a} \\ \vmat{ \vec{b} }^{2}} \* \vec{a}[/mm]
> (soll heißen oben geteilt durch unten!)
Das ist sicher falsch. die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] AUF [mm] \vec{b} [/mm] hat sicher die Richtung von [mm] \vec{b}! [/mm] 2. Skalarprodukt [mm] <\vec{a},\vec{b}>gibt [/mm] die Länge von a in Richtung b mal dem Betrag von b denn [mm] <\vec{a},\vec{b}>=|a|*|b|*cos\alpha. [/mm] also musst du rechnen :
[mm] \bruch{<\vec{a},\vec{b}>}{|b|}*\vec{b}
[/mm]
> Für [mm]\vec{b} \* \vec{a}[/mm] bekomme ich 20 raus.
wie kommst du denn da drauf? Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der Komponenten also hier 2*1+(-1)*1+1*(-3)=-2
> Für [mm]\vmat{ \vec{b} }[/mm] bekomme ich 7 raus
> Damit lautet das Ergebnis [mm]\vektor{ \bruch{20}{49} } \* \vec{a}[/mm]
> = 0,4082 [mm]\* \vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0,82 \\ 0,82 \\ 0,4082 }[/mm]
>
> Ist das richtig?
Leider alles falsch! ich hofe du lernst was draus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 09.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Wir projezieren den Vektor [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\7} [/mm] auf den Vektor [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\4}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\4} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ -1 \\7} [/mm] = 12 + 0 + 28 = 40
[mm] \vmat{ \vec{a}}^{2} [/mm] = [mm] 3^{2} [/mm] + [mm] 0^{2} [/mm] + [mm] 4^{2} [/mm] = 25
b auf a ist dann [mm] \bruch{40}{25} \vektor{3 \\ 0\\4} [/mm] = [mm] \vektor{4,8 \\ 0 \\6,4}
[/mm]
Ist das richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo jan
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
alles richtig!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 09.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Ich verstehe den Unterscheid zu meiner ersten Aufgabe nicht?!?!?!? Ist doch genau dasselbe???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hoffe das ist geklärt, du hattest das skpr. falsch und den falschen vektor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 09.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Leduart!
Ich habe mich bei meiner ersten Aufgabe vertippt, aber hoffentlich richtig gerechnet?!?
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & 1 }
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 3 & 2 }
[/mm]
dann ergibt sich für [mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = 20
und für
[mm] \vmat{ \vec{b} }^{2} [/mm] = 49 bzw. [mm] \vmat{ \vec{b} } [/mm] = 7
dann müsste auch [mm] \pmat{ \bruch{20}{49} } [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0,82 \\ 0,82 \\ 0,41} [/mm] rauskommen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Do 09.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Do 09.02.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Wirklich kein Fehler?
JUCHU!!!!! Ich danke Dir für deine schnelle Antwort!!!!! Konnte dir leider als Newbie keine PN schicken. Es ist auch egal, ob ich für a und b Zeilen- oder Spaltenvektoren gegeben habe, oder?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 10.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
in deiner oberen Frage stecken zwei kleine Fehler:
1) nicht der Betrag von b ist 7, sondern der Betrag von a ist 9
(tippo+rechenfehler..)
2) in der letzten Rechenzeile multiplizierst du wieder mit dem Vektor a, aber dividierst durch den Betrag von b !
Wenn du die Projektion von a auf b bilden willst, musst du mit dem Vektor b multiplizieren (nicht a)
Wenn du von b auf a projizieren willst, dann musst du durch den betrag von a teilen nicht b...
Desweiteren hängt es von der Definition des Skalarproduktes und der vektoren ab, ob es egal ist, ob Spalten- oder Zeilenvektor.
Wenn du noch nie etwas von einem Dualraum gehört hast oder ihr den Unterschied zwischen Spalten- und Zeilenvektoren auch sonst immer ignoriert, dann ist es für dich jetzt auch egal.
viele Grüße
DaMenge
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