Projektion in Richtung von e_3 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es sei P : R³ -> R³ die Projektion des R³ auf U = R² × {0} längs der Richtung von dem Einheitsvektor e3 = (0, 0, 1) € R³ (d.h. P(x) € U ist das
Schattenbild von x bei einer Beleuchtung in Richtung von e3).
1. Zeigen Sie, dass P linear ist. |
| Aufgabe 2 | | 2. Berechnen Sie die Matrix von P und zeigen Sie, dass P P = P. |
| Aufgabe 3 | 3. Berechnen Sie die Matrix der komplement¨aren Projektion Q = id−P und zeigen
Sie, dass Q Q = Q. (Die identische Abbildung wird durch id bezeichnet.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was bedeutet R² x{0}? ist 0 dabei der 0-Vektor?
Was bedeutet es, dass P eine Projektion in Richtung e3 ist? Welche Informationen sind darin enthalten?
Was bedeutet Schattenbild? :S
Wie kann man zeigen, dass P linear ist?
Wie kann ich die Matrix von P aufstellen?
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> Es sei P : R³ -> R³ die Projektion des R³ auf U = R² ×
> {0} längs der Richtung von dem Einheitsvektor e3 = (0, 0,
> 1) € R³ (d.h. P(x) € U ist das
> Schattenbild von x bei einer Beleuchtung in Richtung von
> e3).
> 1. Zeigen Sie, dass P linear ist.
> 2. Berechnen Sie die Matrix von P und zeigen Sie, dass P
> P = P.
> 3. Berechnen Sie die Matrix der komplement¨aren
> Projektion Q = id−P und zeigen
> Sie, dass Q Q = Q. (Die identische Abbildung wird durch
> id bezeichnet.)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Was bedeutet R² x{0}? ist 0 dabei der 0-Vektor?
Hallo,
nein, die Zahl 0.
Mit [mm] \IR^2x\{0\} [/mm] ist dies gemeint: [mm] \{\vektor{x\\y\\0}| x,y\in \IR\}
[/mm]
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> Was bedeutet es, dass P eine Projektion in Richtung e3 ist?
> Welche Informationen sind darin enthalten?
Das die Komponente von Vektoren, die in Richung [mm] e_3 [/mm] ist, wegfällt.
Also: [mm] P(\vektor{x\\y\\z})=\vektor{x\\y\\0}.
[/mm]
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> Was bedeutet Schattenbild? :S
Der Strahl des Diaprojektors geht in die Projektionsrichtung, und das Schattenbild (die Projektion) eines gegenstandes ist das, was man auf der Leinwand [mm] \IR^2x\{0\} [/mm] sieht.
>
> Wie kann man zeigen, dass P linear ist?
Indem Du die Linearitätsbedingungen für P nachrechnest.
Wie lauten diese?
Falls Du mit der Umsetzung ein Problem hast: welches?
>
> Wie kann ich die Matrix von P aufstellen?
Wie stellt man Darstellungsmatrizen auf?
Gruß v. Angela
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Also die Linearitätsbedingungen lauten: [mm] P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})=P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}})+P(\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})
[/mm]
und [mm] P(\lambda*\vektor{x \\ y \\ z})=\lambda*P(\vektor{x \\ y \\ z}).
[/mm]
Also zu 1. :
[mm] P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}})+P(\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})= \vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ 0}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ 0}= \vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ 0+0}=P(\vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2}}) [/mm] = [mm] P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})
[/mm]
und:
[mm] P(\lambda*\vektor{x \\ y \\ z})=P(\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*z})=\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*0}=\lambda*\vektor{x \\ y \\ 0}=\lambda*P(\vektor{x \\ y \\ z})
[/mm]
Also wäre P damit linear. Ist das so richtig?
zu 2.)
Habe herausgefunden: Es soll Folgendes gelten:
seien $ [mm] A=\{a_1 , ... , a_n \} [/mm] $ und $ [mm] B=\{b_1 , ... , b_m \} [/mm] $ die Basen und seien $ [mm] v=x_1\cdot{}a_1 [/mm] + ... [mm] +x_n\cdot{}a_n [/mm] $ und $ [mm] f(v)=y_1\cdot{}b_1 [/mm] + ... [mm] +y_m\cdot{}b_m [/mm] $ die Basisdarstellungen von v bzgl A bzw. f(v) bzgl B.
Dann : $ [mm] f(v)=M_{B}^{A}(f)\cdot{}\vektor{x_1\\.\\.\\x_n}=\vektor{y_1\\.\\.\\y_m} [/mm] $
Aber leider hilft mir das nicht weiter :-/
Woher weiß ich nun wie die Matrix aussehn soll?
Muss ich dann irgendwie ein Gleichungssystem aufstellen und lösen? :S
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> Also die Linearitätsbedingungen lauten: [mm]P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})=P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}})+P(\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})[/mm]
>
> und [mm]P(\lambda*\vektor{x \\ y \\ z})=\lambda*P(\vektor{x \\ y \\ z}).[/mm]
>
> Also zu 1. :
>
> [mm]P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}})+P(\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})= \vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ 0}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ 0}= \vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ 0+0}=P(\vektor{x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2}})[/mm]
> = [mm]P(\vektor{x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1}}+\vektor{x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2}})[/mm]
>
> und:
>
> [mm]P(\lambda*\vektor{x \\ y \\ z})=P(\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*z})=\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y \\ \lambda*0}=\lambda*\vektor{x \\ y \\ 0}=\lambda*P(\vektor{x \\ y \\ z})[/mm]
>
> Also wäre P damit linear. Ist das so richtig?
Hallo,
ja, so geht das.
>
> zu 2.)
>
> Habe herausgefunden: Es soll Folgendes gelten:
> seien [mm]A=\{a_1 , ... , a_n \}[/mm] und [mm]B=\{b_1 , ... , b_m \}[/mm]
> die Basen und seien [mm]v=x_1\cdot{}a_1 + ... +x_n\cdot{}a_n[/mm]
> und [mm]f(v)=y_1\cdot{}b_1 + ... +y_m\cdot{}b_m[/mm] die
> Basisdarstellungen von v bzgl A bzw. f(v) bzgl B.
> Dann :
> [mm]f(v)=M_{B}^{A}(f)\cdot{}\vektor{x_1\\.\\.\\x_n}=\vektor{y_1\\.\\.\\y_m}[/mm]
>
> Aber leider hilft mir das nicht weiter :-/
>
> Woher weiß ich nun wie die Matrix aussehn soll?
>
> Muss ich dann irgendwie ein Gleichungssystem aufstellen und
> lösen? :S
Das mit den darstellenden Matrizen ist ganz einfach, vor allem, wenn man es mit der Standardbasis [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] zu tun hat:
In den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren. (Ein unbedingt merkenswerter Spruch...)
Wenn Du das nun umsetzt, dann steht die Darstellungsmatrix da.
Du hattest das in Zeichen auch oben hingeschrieben - aber es nicht gemerkt.
Das, was Du schriebst, handelt von Darstellungsmatrizen von f bzgl. zweier Basen A und B und als Merksprüchelchen lautet es:
in den Zeilen der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen A und B stehen die Bilder der Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl. B.
Gruß v. Angela
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Die Basisvektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] sind ja: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und diese werden abgebildet auf: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Also sähe die Matrix dann so aus: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Jetzt stehen die Bilder der Basisvektoren in den Spalten der Matrix.
Wars das schon? :S
Zu 3.)
Die identische Abbildung im [mm] \IR^{3} [/mm] ist ja: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Dann wäre Q=id-P = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}-\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0}=\pmat{ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Also würden die Basisvektoren abgebildet werden auf: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und damit [mm] Q(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{0 \\ 0 \\ z}
[/mm]
Und [mm] Q\circ Q(\vektor{x \\ y \\ z}) =(Q(Q(\vektor{x \\ y \\ z})=Q(\vektor{0 \\ 0 \\ z})=\vektor{0 \\ 0 \\ z}
[/mm]
und damit [mm] Q\circ [/mm] Q=Q
Dasselbe analog für P:
[mm] P\circ P(\vektor{x \\ y \\ z})=P(P(\vektor{x \\ y \\ z}))=P(\vektor{x \\ y \\ 0})=\vektor{x \\ y \\ 0}
[/mm]
und damit [mm] P\circ [/mm] P=P
Ist das so in Ordnung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 20.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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