Projektionsoperator < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 03.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Hallo!
Ich hab eine Aufgabe bekommen über Projektionsoperatoren mit einer einzigen Definition: [mm] P\circP=P [/mm] und kann damit leider gar nichts anfangen? Kann mir das jemand näher erklären?
Ich soll zeigen, dass P diagonalisierbar ist und welche Eigenwerte P hat. Ich weiß theoretisch schon, wie ich das mache und was das ist, aber was ist P?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich hab eine Aufgabe bekommen über Projektionsoperatoren
> mit einer einzigen Definition: [mm]P\circP=P[/mm] und kann damit
> leider gar nichts anfangen? Kann mir das jemand näher
> erklären?
>
> Ich soll zeigen, dass P diagonalisierbar ist und welche
> Eigenwerte P hat. Ich weiß theoretisch schon, wie ich das
> mache und was das ist, aber was ist P?
Du meinst wohl [mm] P^2 [/mm] = P
Sei V ein Vektorraum und P:V-->V linear. P heißt eine Projektion, wenn [mm] P^2 [/mm] = P
Beispiele : P=0 oder P= Identität.
Zu Deiner Aufgabe: Zeige
1. V = Kern(P) [mm] \oplus [/mm] Bild(P)
2. Bild(P) = { x [mm] \in [/mm] V: Px=x }
3. Ist 0 [mm] \not= [/mm] P [mm] \not= [/mm] Identität, so hat P genau die Eigenwerte 0 und 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 03.12.2008 | | Autor: | abakus86 |
Oh ja entschuldige ich meinte natürlich P [mm] \circ [/mm] P = P
Ja das ist schön und gut, aber wie soll ich das alles zeigen, wenn alles was ich habe, P ist? Wie sieht P denn aus? Aus was besteht P? Weißt du wo mein Problem liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Oh ja entschuldige ich meinte natürlich P [mm]\circ[/mm] P = P
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> Ja das ist schön und gut, aber wie soll ich das alles
> zeigen, wenn alles was ich habe, P ist? Wie sieht P denn
> aus? Aus was besteht P? Weißt du wo mein Problem liegt?
Ja. Aber Du brauchst nur die Eig. [mm] P^2 [/mm] =P
Ich mach Dir mal obigen Punkt 1. vor:
Sei x [mm] \in [/mm] V. Dann x = Px +(x-Px). Setze u:= Px und v:= x-Px.
Dann ist u [mm] \in [/mm] Bild(P) und wegen Pv = Px - [mm] P^2 [/mm] x = Px-Px = 0 ist v [mm] \in [/mm] Kern(P).
Wir haben also: V = Kern(P) + Bild(P).
Die Summe ist direkt: sei z [mm] \in [/mm] Kern(P) [mm] \cap [/mm] Bild(P). Dann ist Pz = 0 und es ex. ein x [mm] \in [/mm] V mit z =Px. Es folgt : z = Px = P(Px) = Pz = 0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Es ist Eig(P,0) = Kern(P)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
Anmerkung: Mir ist schon klar, dass Ker(P)={v aus V: P(v)=0}...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Im allgemeinen nicht.
Für eine Projektionsop. P gilt:
kern(P) = {0} [mm] \gdw [/mm] P = Identität
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
Die o.g. Aufgabe bezieht sich auf einen Endomorphismus, wobei der zugrundeliegende Vektorraum endlich erzeugt ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
kern(P) = {0} $ [mm] \gdw [/mm] $ P = Identität
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:16 Do 04.12.2008 | | Autor: | ihp |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 06.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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