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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Di 24.06.2008 | | Autor: | ereger |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung f : V [mm] \to [/mm] V heißt Projektor, wenn gilt
f [mm] \circ [/mm] f = f ( d.h f(f(x))=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] V ).
1.Man zeige: Ist f : V [mm] \to [/mm] V ein Projektor, so ist auch [mm] id_{V} [/mm] - f : V [mm] \to [/mm] V ,
x [mm] \mapsto [/mm] x - f(x) ein Projektor
2.Man zeige: Ist f : V [mm] \to [/mm] V ein Projektor,so gilt für die Untervektorräume ker f und f(V) von V, dass ker f [mm] \cap [/mm] f(V) = {0} , V=f(V) + ker f |
Hallo!
Könnte mir jemand vllt. Tip geben ob meine Überlegungen richtig sind bezüglich dieser Aufgabe!?
zu1.Aus definition ausgehend prüfe ich ob die neue Funktion [mm] id_{V} [/mm] - f auch ein Projektor ist, indem ich die Eigenschaft des Projektors nachprüfe:
[mm] (id_{V} [/mm] - f) [mm] \circ [/mm] (x - [mm] f(x))=id_{V}(x [/mm] - f(x)) - f(x - [mm] f(x))=id_{V}(x) [/mm] - [mm] id_{V}(f(x))-f(x) [/mm] + [mm] \underbrace{ f(f(x))}_{=f(x)} =id_{V}(x) [/mm] - [mm] id_{V}(f(x))= [/mm] x - f(x)
zu2.Wie ich das verstehe Bild und kern haben nur einen Punkt wo sie sich schneiden, nämlich Koordinatenursprung oder Nullraum?muss man hier zeigen dass sowohl im kern als auch im bild nullraum {0} enthalten ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Di 24.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Es sei V ein K-Vektorraum. Eine lineare Abbildung f : V [mm]\to[/mm]
> V heißt Projektor, wenn gilt
> f [mm]\circ[/mm] f = f ( d.h f(f(x))=f(x) für alle x [mm]\in[/mm] V ).
> 1.Man zeige: Ist f : V [mm]\to[/mm] V ein Projektor, so ist auch
> [mm]id_{V}[/mm] - f : V [mm]\to[/mm] V ,
> x [mm]\mapsto[/mm] x - f(x) ein Projektor
> 2.Man zeige: Ist f : V [mm]\to[/mm] V ein Projektor,so gilt für die
> Untervektorräume ker f und f(V) von V, dass ker f [mm]\cap[/mm] f(V)
> = {0} , V=f(V) + ker f
> Hallo!
Hallo! 
> Könnte mir jemand vllt. Tip geben ob meine Überlegungen
> richtig sind bezüglich dieser Aufgabe!?
>
> zu1.Aus definition ausgehend prüfe ich ob die neue Funktion
> [mm]id_{V}[/mm] - f auch ein Projektor ist, indem ich die
> Eigenschaft des Projektors nachprüfe:
>
> [mm](id_{V}[/mm] - f) [mm]\circ[/mm] (x - [mm]f(x))=id_{V}(x[/mm] - f(x)) - f(x -
> [mm]f(x))=id_{V}(x)[/mm] - [mm]id_{V}(f(x))-f(x)[/mm] + [mm]\underbrace{ f(f(x))}_{=f(x)} =id_{V}(x)[/mm]
> - [mm]id_{V}(f(x))=[/mm] x - f(x)
richtig
>
> zu2.Wie ich das verstehe Bild und kern haben nur einen
> Punkt wo sie sich schneiden, nämlich Koordinatenursprung
> oder Nullraum?muss man hier zeigen dass sowohl im kern als
> auch im bild nullraum {0} enthalten ist?
Das ist klar, weil f linear ist, also f(0)=0 gilt. Somit ist die 0 in beiden enthalten. Zu zeigen ist, dass nicht noch mehr Elemente im Schnitt liegen.
Dazu wähle ein c [mm] \in [/mm] ker(f) [mm] \cap [/mm] f(V)
Wegen c [mm] \in [/mm] f(V) existiert a [mm] \in [/mm] V mit f(a) = c und
wegen c [mm] \in [/mm] ker(f) gilt f(c) = 0
und damit gilt
c = f(a) = f(f(a)) = f(c) = 0
Damit ist der erste Teil von 2) gezeigt.
Vielleicht kommst Du jetzt alleine weiter!?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Di 24.06.2008 | | Autor: | ereger |
Vielen Dank für den Tip!!!!!
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