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Hi. Wärt ihr so nett und überprüft meine Lösungen zu folgender Aufgabe?!. Vielen Dank!
Wie oft muss man mit einem fairen Würfel mindestens würfeln, um
a) mit W' von 90 Prozent mindestens eine Eins zu erzielen?
b) mit W' von 30 Prozent mindestens zwei Fünfen zu erzielen?
zu a): Es gilt ja: 1-q größer= (1-p)n
q= 0,9 und p=1/6
also: 0,1 größer= (5/6)n
genau darus folgt: n größer= log 0,1/ log (5/6) = 12,65
" " " : n größer= 13
zu b) q=0,3 und p= 1/36(mindestens)
n größer= log 0,7/ log (35/36) = 13
einverstanden???
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Björn!
> Hi. Wärt ihr so nett und überprüft meine Lösungen zu
> folgender Aufgabe?!. Vielen Dank!
Klar, kein Problem. 
> Wie oft muss man mit einem fairen Würfel mindestens
> würfeln, um
>
> a) mit W' von 90 Prozent mindestens eine Eins zu
> erzielen?
> b) mit W' von 30 Prozent mindestens zwei Fünfen zu
> erzielen?
>
> zu a): Es gilt ja: 1-q größer= (1-p)n
>
> q= 0,9 und p=1/6
>
> also: 0,1 größer= (5/6)nEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> genau darus folgt: n größer= log 0,1/ log (5/6) = 12,65
> " " " : n größer= 13
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b) q=0,3 und p= 1/36(mindestens)
Wie kommst du auf $p=\frac{1}{36}$ ?
Die Wahrscheinlichkeit in $n$ Würfen weniger als $2$ Fünfen zu erzielen, ist ja gleich der Wahrscheinlichkeit $0$ Fünfer zu erzielen plus der Wahrscheinlichkeit $1$ Fünfer zu erzielen, also:
$\left(\frac{5}{6})^n + n (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6}$.
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses soll mindestens gleich $0,3$ sein, d.h. es soll
$1- \left(\frac{5}{6})^n - n (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6} \ge 0,3$
gelten.
Bis hierhin alles klar?
Hast du eine Idee, wie man weitermachen könnte (außer mit Ausprobieren, was ja auch nicht verboten ist)?
(Ich nämlich gerade nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") )
Liebe Grüße
Stefan
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wie kommt man denn auf [mm] \left(\frac{5}{6})^n + n (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6} [/mm]???
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn!
> wie kommt man denn auf [mm]\left(\frac{5}{6})^n + n (\frac{5}{6})^{n-1} \cdot \frac{1}{6} [/mm]???
Naja, die Anzahl $X$ der $5$en bei einem $n$-fachen Würfelexperiment ist ja
[mm] $B(n,\frac{1}{6})$-verteilt, [/mm] d.h. Binomial-verteilt mir Parametern $n$ und [mm] $p=\frac{1}{6}$.
[/mm]
Daher gilt:
$P(X=k) = {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^k \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-k}$.
[/mm]
Wir hatten:
$P(X [mm] \ge [/mm] 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$.
Nun haben wir nach obiger Formel:
$P(X=0) = {n [mm] \choose [/mm] 0} [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n} [/mm] = [mm] \left( \frac{5}{6} \right)^n$
[/mm]
und
$P(X=1) = {n [mm] \choose [/mm] 1} [mm] \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} [/mm] = n [mm] \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}$.
[/mm]
So, jetzt bist du an der Reihe. Wie kann man in meiner Ungleichung nach $n$ auflösen? (Ich weiß es selber nicht. Man könnte, wie gesagt, Werte für $n$ einfach einsetzen und schauen, wann die Ungleichung zum ersten Mal erfüllt ist.)
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn,
bei der zweiten Aufgabe habe ich jetzt durch Ausprobieren herausgefunden, dass dies für [mm] $n\ge [/mm] 7$ gilt, d.h. man muss mindestens sieben Mal würfeln.
Liebe Grüße
Stefan
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HI,
das hatte ich auch raus, aber leider nur über die Hälfte deines Ansatzes:
0,3 größer= (1-(1/6))n
n größer= 7
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn!
Hmmh, da kommt aber echt nur zufällig das Gleiche raus, auch wenn das jetzt unwahrscheinlich klingt. Ist aber so, den Ansatz kann ich jedenfalls nicht nachvollziehen.
Ich lasse es mal teilbeantwortet, vielleicht schauen ja Oliver oder Marc mal drüber (die beide online sind, daher spreche ich sie an).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:06 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Björn!
Da sich leider keiner mehr gemeldet und das Ergebnis kontrolliert hat, sollte es wirklich nur Zufall gewesen sein, dass du das Gleiche rausbekommen hast. Übernehme einfach meinen Lösungsweg.
Liebe Grüße
Stefan
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