Proportionalität, 3 Grössen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Fr 30.06.2006 | | Autor: | adorsch |
| Aufgabe | Fliesst ein Gleichstrom durch eine verdünnte Kupfersulfatlösung, so entsteht am negativen Pol metallisches Kupfer. Die abgeschiedene Kupfermenge ist sowohl zur Dauer des Stromflusses als auch zur Stromstärke direkt proportional. Bei einer Stromstärke von 0.4 Ampere werden in 15 Minuten 0,12 g Kupfer abgeschieden.
Wie lange dauert es, bis bei einer Stromstärke von 1 Ampere 0.24 g Kupfer abgeschieden werden?
(A) 6 Minuten
(B) 12 Minuten
(C) 20 Minuten
(D) 30 Minuten
(E) 75 Minuten
Schwierigkeitsgrad der Aufgabe: mittel
Durchschnittliche Zeit für Bearbeitung: 2 min 30 sek. |
Hallo!
(Ich bin mir nicht sicher, ob diese Frage genau in dieses Forum gehört. Wenn nicht, dann würde ich gerne wissen wohin ich sie sonst posten kann.)
Die Aufgabe (Nr. 4 im Original) entspringt der sogenannten Testinfo 06 zum schweizerisch-österreichischen Eignungstest für das Medizinstudium (EMS), den ich nächsten Freitag bestehen will.
(© 2006: Zentrum für Testentwicklung und Diagnostik (ZTD) am Departement für Psychologie der Universität Freiburg, Schweiz)
Ich gebe hier die Lösungswege und die Erklärungen an, wie Sie von den Autoren im Heft stehen:
Aufgabe (4) kann in mehreren einfachen Schritten gelöst werden, etwa so:
Bekannt: Bei 0,4 Ampere: 0,12 g in 15 Minuten
Da die Kupfermenge proportional ist zur Dauer des Stromflusses, benötigt man für die angestrebte doppelte Kupfermenge (0,24 g) auch die doppelte Zeit, vorausgesetzt die Stromstarke bleibt unverändert. Also:
1. Schluss: Bei 0,4 Ampere: 0,24 g in 30 Minuten
Nun soll aber ein Strom von mehrfacher - genau: 2,5facher - Stärke verwendet werden; dadurch braucht man entsprechend weniger Zeit - genau den 2,5ten Teil der ursprünglichen Zeitspanne -, um die gleiche Kupfermenge zu erzeugen (wer (E) ankreuzt, hat wahrscheinlich die Richtung dieses Zusammenhangs umgekehrt!). Also:
2. Schluss: Bei 1 Ampere: 0,24 g in 12 Minuten
Ein anderer Weg, der bei Vertrautheit mit Gleichungen eventuell einfacher ist, führt über die Formalisierung der im Text beschriebenen Zusammenhänge. In jedem Fall sollten Sie sich mit diesen Schreibweisen für proportionale Beziehungen vertraut machen, da sie immer wieder in EMS-Aufgaben verwendet werden! lm vorliegenden Beispiel gilt (M = Kupfermenge, I = Stromstärke, t = Dauer des Stromflusses):
M ~ l, d.h. M ist proportional zu I; dies bedeutet (unter konstanten Rahmenbedingungen, also insbesondere bei festem t) M = a * 1 mit einem Proportionalitätsfaktor a ungleich 0, das Verhältnis M/I ist konstant, und beim Vergleich der Werte aus zwei Messungen ist M1/M2 = I1/I2.
M ~ t, d.h. M ist proportional zu t; dies bedeutet (hier bei gleich bleibendem I)
M = b * t mit b ungleich 0,
M/t ist konstant,
M1/M2 = t1/t2.
Beide Aussagen zusammen führen nun auf die Gleichung
M1/M2 = (t1 * I1)/(t2 * I2)
Die gesuchte Grösse t2 erhält man durch Einsetzen und Umformen:
0.12 g / 0.24 g = (15 min * 0.4 A) / (t2 * 1 A)
t2 = (15 min * 0.4 A * 0.24 g) / (1 A * 0.12 g) = 12 min »
Soweit also die gegeben Informationen. Die Aufgabe ist nur ein Beispiel, was an der Prüfung kommen kann. Ich verstehe auch mittlerweile den 1. Lösungsweg. Ich will aber den zweiten auch verstehen, da Proportionalitätsaufgaben häufig in diesem Test vorkommen. Ausserdem will ich mit der besten und schnellsten Methode vertraut sein, um in der Prüfung direkt Proportionalitätsprobleme erkennen und lösen zu können.
Was ich nicht verstehe ist der Satz: Beide Aussagen zusammen führen nun auf die Gleichung
Wie kommt man mit den beiden folgenden Aussagen auf die Gleichung M1/M2 = (t1 * I1)/(t2 * I2):
M ~ l, d.h. M ist proportional zu I; dies bedeutet (unter konstanten Rahmenbedingungen, also insbesondere bei festem t) M = a * 1 mit einem Proportionalitätsfaktor a ungleich 0, das Verhältnis M/I ist konstant, und beim Vergleich der Werte aus zwei Messungen ist M1/M2 = I1/I2.
M ~ t, d.h. M ist proportional zu t; dies bedeutet (hier bei gleich bleibendem I)
M = b * t mit b ungleich 0,
M/t ist konstant,
M1/M2 = t1/t2.
Intuitiv sehe ich schon, dass es stimmt. Ich verstehe aber nicht, wie man algebraisch darauf kommt. Die einzige Egalität, die ich sehe ist:
M1/M2 = I1/I2 = t1/t2
Und die ist wahrscheinlich noch falsch, da die Proportionalitätsfaktoren a und b nicht unbedingt gleich sind.
Könnte mir jemand bitte erklären, wie man auf die Gleichung
M1/M2 = (t1 * I1)/(t2 * I2)
kommt?
Ich wäre auch froh, wenn mir jemand Theorie und Übungen zum Thema empfehlen kann (am Besten online, da die Prüfung schon in einer Woche ist).
Ich hoffe, jemand von euch sei bereit mir zu helfen und wünsche allen noch ein schönes Wochenende!
Alexander Dorsch
PS: Auch würde ich gerne noch andere Übungen zum EMS finden, zum Beispiel zum Untertest Quantitative und formale Probleme, wo man neben Proportionalen Beziehungen auch Aufgaben zur Aufteilungen von Mengen, Massen, usw. in kurzer Zeit zu bewältigen hat. Ein anderes (für mich schwieriges) Thema heisst Formeln aufstellen, umformen, interpretieren. Weiter suche ich noch Aufgaben zum Thema Diagramme und Tabellen, die interpretiert werden müssen.
PPS: Zuletzt suche ich auch noch ein gutes, französisches Mathematikforum, da ich den EMS auf Deutsch mache, die Maturität (das schweizerische Abitur) im September jedoch auf Französisch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hallo Alexander!
wenn die masse [mm]m[/mm] sowohl proportional zur zeit [mm]t[/mm], als auch zur stromstärke [mm]I[/mm] ist, kann man sagen:
[mm]m \sim t[/mm] bei konstantem [mm]I[/mm] und
[mm]m \sim I[/mm] bei konstantem [mm]t[/mm]
das ist gleichbedeutend mit:
[mm]m \sim t*I[/mm] [mm] \to[/mm] [mm]\bruch{m}{t*I}=const.[/mm]
daraus folgt insbesondere:
[mm] \bruch{m_{1}}{t_{1}*I_{1}}=\bruch{m_{2}}{t_{2}*I_{2}},
[/mm]
was das selbe ist, wie die formel, "die aus den beiden aussagen folgt".
an deiner stelle würde ich mir einfach folgendes beispiel merken:
[mm]A\sim \bruch{B*C}{D}[/mm]
heißt
[mm]A \sim B[/mm]: A ist direkt proportional zu B (C und D konstant)
[mm]A \sim C[/mm]: A ist direkt proportional zu C (B und D konstant)
[mm]A \sim BC[/mm]: A ist direkt proportional zu B und C (D konstant)
[mm]A \sim \bruch{1}{D}[/mm]: A ist indirekt proportional zu D (B und C konstant)
du kannst dann 2 zustände vergleichen mit
[mm]\bruch{A_{1}D_{1}}{B_{1}C_{1}}=\bruch{A_{2}D_{2}}{B_{2}C_{2}}[/mm]
außerdem kann man die formel aufstellen:
[mm]A=k*\bruch{B*C}{D}[/mm]
([mm]k[/mm] ist eine konstante - auch proportionalitätsfaktor genannt)
so, ich hoffe das hat dir geholfen...
liebe grüße,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Di 04.07.2006 | | Autor: | adorsch |
| Aufgabe | Fliesst ein Gleichstrom durch eine verdünnte Kupfersulfatlösung, so entsteht am negativen Pol metallisches Kupfer. Die abgeschiedene Kupfermenge ist sowohl zur Dauer des Stromflusses als auch zur Stromstärke direkt proportional. Bei einer Stromstärke von 0.4 Ampere werden in 15 Minuten 0,12 g Kupfer abgeschieden.
Wie lange dauert es, bis bei einer Stromstärke von 1 Ampere 0.24 g Kupfer abgeschieden werden?
(A) 6 Minuten
(B) 12 Minuten
(C) 20 Minuten
(D) 30 Minuten
(E) 75 Minuten
Schwierigkeitsgrad der Aufgabe: mittel
Durchschnittliche Zeit für Bearbeitung: 2 min 30 sek. |
Hallo goldener Schnitt!
Danke für deinen Hinweis.
Man könnte also sagen:
[mm]M[/mm] ist direkt proportional zum Produkt von [mm]t[/mm] und [mm]I[/mm].
Somit hätte man nicht einen Vergleich zwischen drei Grössen.
Nicht?
Ciao
Alexander
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Hallo Alexander!!!!!
... und einen schönen guten Morgen!!!!
WIR FAHREN NACH BERLIN; BERLIN; WIR FAHREN NACH BERLIN.....
So, also, ich denke, man könnte das auf diese Weise ausdrücken; gerade in der Physik aber, würde ich es als nicht so sinnvoll bezeichnen.
Ich würde schon eher auf eine lineare Abhänigkeit tippen...
Naja, eventuell weis da noch jemand anderes noch genaueres!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Di 04.07.2006 | | Autor: | adorsch |
Hallo Fulla!
Erstens einmal möchte ich mich herzlich bedanken für deine Antwort. Es ist das erste Mal, dass ich hier mitmache und konnte am zweiten Tag schon meinen Artikel nicht mehr finden und bin deshalb heute umso glücklicher, sogar zwei Antworten vorzufinden.
Ich muss aber noch einmal auf deine Antwort zurückkommen, da ich sie nicht ganz verstehe:
Du sagst:
Wenn:
1. [mm]m \sim t[/mm] bei konstantem [mm]I[/mm] und
2. [mm]m \sim I[/mm] bei konstantem [mm]t[/mm]
Dann ist das gleichbedeutend mit:
3. [mm]m \sim t*I[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\bruch{m}{t*I}=const.[/mm]
Wenn [mm]M[/mm] direkt proportional zu [mm]t[/mm] und direkt proportional zu [mm]I[/mm] ist, dann ist [mm]M[/mm] direkt proportional zum Produkt [mm]t*I[/mm]?
Ist das ein Schluss, den wir auf dem Text basieren müssen? Kann man nicht die Informationen aus den Gleichungen 1 und 2 algebraisch umformen, um auf die Gleichung 3 zu stossen? Die Gleichung 3 will eigentlich heissen:
[mm]m \sim t[/mm] aber [mm]t[/mm] hängt dann eben noch von [mm]I[/mm] ab (das Gleiche gilt, wenn man [mm]t[/mm] und [mm]I[/mm] vertauscht)?
Danke auch für dein Beispiel. Ich bin mir zwar nicht ganz sicher, ob ich es ganz verstanden habe.
Wichtig wäre mir jetzt auch noch, ein paar Übungen zum Thema lösen zu können.
Hat jemand eine Idee, wo ich solche finden kann?
Ciao
Alexander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Do 06.07.2006 | | Autor: | Fulla |
hi alexander!
hmm.... also durch algebraisches umformen kommt man glaub ich nicht auf das gleiche ergebnis....
$ m [mm] \sim [/mm] t $ bei konstantem $ I $, das heißt doch mit einem konstanden faktor ergibt sich eine gleichung: [mm]m=K*t[/mm]. wenn du jetzt den faktor so "hinmodelst", dass [mm]K=k*I[/mm] ([mm]I[/mm] ist ja konstant), ergibt sich [mm]m=k*I*t[/mm].
wenn du jetzt [mm]t[/mm] und [mm]I[/mm] vertauschst, kommst du auf dieselbe gleichung....
und, ja, ich würde schon sagen, dass hier [mm]m[/mm] proportional zum produkt [mm]t*I[/mm] ist...
sorry, aber mehr an erklärung fällt mir nicht ein... :-/
auf die schnelle hab ich ![[]](/images/popup.gif) das gefunden.... nix besonderes, aber googel doch mal nach "proportionalität aufgaben" oder so....
lieben gruß,
Fulla
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![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]"){kind=small}
