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| Aufgabe | | zeige:[mm] X^4 +X^3 +X^2 + X +1 [/mm] ist irreduzibel in [mm] \sub\IQ [X] [/mm] |
Ich habe gerade starke Probleme diese Aufgabe zu lösen.
Sie dient als Klausurvorbereitung.
Die mir bekannten Kriterien (Eisenstein, Reduktion, Nullstellen prüfen), kann man hier soweit ich das erkenne alle nicht benutzen.
Ich könnte durch alle irreduziblen Polynome kleineren Grades teilen, jedoch sind das nicht gerade wenige.
Nächste Idee:
Ich zeige, dass obiges Polynom ein Minimalpolynom ist. Leider fehlt mir hierzu die Erfahrung, wie ich daran gehen muss.
Liebe Grüße
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Hallo,
ein Weg wäre statt f(X) das Polynom f(X+1) zu betrachten. (das ist der Standardbeweis, dass alle Polynome der Form [mm] $X^{p-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] +1$ irred. sind). Ohne es jetzt genau überprüft zu haben gehe ich davon aus, dass man dieses konkrete Polynom auch übers Reduktionskriterium mod 2 gut angehen kann.
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Hallo, danke für die schnelle Antwort.
Ich wäre sehr dankbar wenn jmd. nochmal drüber schaut, ob das dann so stimmt:
[mm]
f(X) = X^4 + X^3 +X^2 +X +1
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$f(X+1) = [mm] (X+1)^4 [/mm] + [mm] (X+1)^3 +(X+1)^2 [/mm] +(X+1) +1$
$= [mm] X^4 [/mm] + 5 [mm] X^3 [/mm] + 10 [mm] X^2 [/mm] + 10X +5$
Betrachte das ganze nun modulo 2:
[mm] $\bar [/mm] f(X+1) = [mm] X^4 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] + [mm] \bar [/mm] 1$
Die einzigen irreduziblen Teiler kleineren Grades, die in Frage kämen, sind nun:
$X [mm] \pm [/mm] 1 , [mm] X^2 \pm [/mm] 1, [mm] X^3 \pm [/mm] 1$
(wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob man die quadratischen bzw. kubsichen Polynome hier überhaupt noch betrachten muss.)
Wenn ich nun das Polynom teile durch die irred. Polynome, bekomme ich immer einen Rest, sodass es keine Teiler sind und daher ist dann [mm] $\bar [/mm] f(X+1)$ irreduzibel in [mm] $\sub\IZ [/mm] / 2 [mm] \sub\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f(X+1) irreduzibel in [mm] $\sub\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f(X+1) irreduzibel in [mm] $\sub\IQ$, [/mm] da primitiv und [mm] $\IQ$ [/mm] Quotientenkörper von [mm] $\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f(X) irreduzibel in [mm] $\IQ$
[/mm]
Stimmt das so?
noch eine Frage:
Wieso darf ich denn überhaupt diese Verschiebung um 1 betrachten?
Eine kurze Erklärung wäre nett :)
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> Hallo, danke für die schnelle Antwort.
> Ich wäre sehr dankbar wenn jmd. nochmal drüber schaut, ob
> das dann so stimmt:
>
> [mm]
f(X) = X^4 + X^3 +X^2 +X +1
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]f(X+1) = (X+1)^4 + (X+1)^3 +(X+1)^2 +(X+1) +1[/mm]
> [mm]= X^4 + 5 X^3 + 10 X^2 + 10X +5[/mm]
>
> Betrachte das ganze nun modulo 2:
Sorry, ich habe wohl in meinem ersten Post missverständlich ausgedrückt. Ich meinte die Irreduzibilität von f(X) kann man mit Reduktionskrit. zeigen. Für f(X+1) eignet sich Eisenstein viel besser.
> [mm]\bar f(X+1) = X^4 + X^3 + \bar 1[/mm]
>
> Die einzigen irreduziblen Teiler kleineren Grades, die in
> Frage kämen, sind nun:
> [mm]X \pm 1 , X^2 \pm 1, X^3 \pm 1[/mm]
Punkt 1: Da $-1=1$ mod 2 ist das Plusminus unnötig. Wieso kommen nur diese Teiler in Frage?
Da das Polynom mod 2 keine NST hat bleibt nur noch zu zeigen, dass es keine Zerlegung in 2 Polynome vom Grad 2 gibt. Hier kann man ausnützen, dass es nur ein irred. Polynom vom grad 2 mod 2 gibt: [mm] $X^2+X+1$
[/mm]
> (wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob man die
> quadratischen bzw. kubsichen Polynome hier überhaupt noch
> betrachten muss.)
>
> Wenn ich nun das Polynom teile durch die irred. Polynome,
> bekomme ich immer einen Rest, sodass es keine Teiler sind
> und daher ist dann [mm]\bar f(X+1)[/mm] irreduzibel in [mm]\sub\IZ / 2 \sub\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(X+1) irreduzibel in [mm]\sub\IZ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(X+1) irreduzibel in [mm]\sub\IQ[/mm], da primitiv und
> [mm]\IQ[/mm] Quotientenkörper von [mm]\IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(X) irreduzibel in [mm]\IQ[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> noch eine Frage:
> Wieso darf ich denn überhaupt diese Verschiebung um 1
> betrachten?
Das ist eine gute und berechtigte Frage (der trick ist allerdings durchaus nützlich):
Die Abb. $R[X] [mm] \to [/mm] R[X] , [mm] \quad [/mm] X [mm] \mapsto [/mm] X+1, [mm] 1\mapsto [/mm] 1$ (R komm. Ring mit 1) ist ein Isomorphismus, iso's erhalten Irreduzibilität.
> Eine kurze Erklärung wäre nett :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mo 07.04.2014 | | Autor: | Studiiiii |
Hab mir nochmal Gedanken gemacht.
Mit Eisenstein und p = 5 -> ALLES KLAR :D hab den Baum vor lauter Wald nicht gesehen.
Ansonsten Danke für die Info mit dem Isomorphismus.
Ich denke jetzt habe ich es auch alles verstanden und bin Klausurbereit :)
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