Prüfen auf Diff'barkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 12.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Also, wenn
> [mm]x=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)[/mm] , dann
> müsste ja [mm]|x| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm] sein, oder nicht?
> Hieße das dann, dass der der Term als
> [mm]\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)^\alpha\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)[/mm]
> verstanden werden muss????
Das stimmt nur dann, wenn es aus dem Zusammenhang klar ist welche Norm mit |.| gemeint ist. Ansonsten ist [mm] |x|^{\alpha} [/mm] die Norm (irgendeine) von x hoch [mm] \alpha. [/mm] Du hast jedenfalls einen Vektor mal einen Skalar.
> Und falls dies so stimmen sollte (irgendwie bezweifel ich
> das ja  ), wie prüf ich so etwas auf
> Differenzierbarkeit??
Es fallen mir zwei Wege ein:
1. f ist eine Komposition von Funktionen, überprüfe die auf Diffbarkeit (gut um ein Gefühl für das Problem zu entwickeln), oder
2. bilde einfach den Differentialquotienten - das versagt nie bei einfachen Funktionen :)
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mi 13.06.2007 | | Autor: | peter_d |
Hallo.
Um diese Funktion auf Diff'barkeit zu prüfen, muss ja gelten (jetzt zb. in [mm] $\IR^2$:
[/mm]
[mm] $\dfrac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)*(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)*(y-y_0)}{|(x-x_0,y-y_0)|}$
[/mm]
Hierbei benötige ich schon mal die partiellen Ableitungen.
Also:
[mm] $f_x(x_0,y) [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x,y)-f(x_0,y)}{x-x_0}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{x\to x_0}\dfrac{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)*\sqrt{x^2+y^2}^k -\left(\begin{array}{c}x_0\\y\end{array}\right)*\sqrt{x_0^2+y^2}^k}{x-x_0}$
[/mm]
So. Hier hapert es.
Wie kann ich diesen Grenzwert bilden. Ich schätze mal, er geht gegen 0, aber ich kann es (noch) nicht zeigen.
Danke für jede Hilfe und Gruß
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 13.06.2007 | | Autor: | max3000 |
Mach das doch nicht mit diesem elenden Grenzwert.
Ihr habt ja in der Vorlesung sicher die ganzen Ableitungsregeln hergeleitet.
Wende diese einfach an.
f ist dann differenzierbar, genau dann, wenn alle [mm] f_{j} [/mm] für j=1,...,m differenzierbar sind und das ist genau dann der Fall, wenn jedes [mm] f_{j} [/mm] in jede Koordinatenrichtung partiell differenzierbar ist.
Also letztendlich musst du die Jacobimatrix aufstellen und zeigen, dass sie für jeden Punkt deines Definitionsbereiches existiert. Das klingt schwieriger als es ist, da die Elemente sich ganz leicht verallgemeinern lassen. Mache eine Fallunterscheidung in dieser Matrix: i=j und [mm] i\not=j.
[/mm]
Dann solltest du drauf kommen.
Es kann aber auch sein, dass ich jetzt irgendeinen Satz übersehen habe, mit dem das vielleicht auch alles noch einfacher geht.
Grüße
Max
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:23 Mi 13.06.2007 | | Autor: | peter_d |
Na gut, dann stell ich mal die Jacobimatrix (zb im [mm] $\IR^3$) [/mm] auf:
Mit [mm] $X:=x^2+y^2+z^2$ [/mm] folgt:
[mm] $J_f [/mm] = [mm] \left(\begin{array}{ccc}
\dfrac{\sqrt{X}^k kx^2}{X}+\sqrt{X}^k & \dfrac{\sqrt{X}^k kyx}{X} & \dfrac{\sqrt{X}^k kzx}{X} \\ & \\
\dfrac{\sqrt{X}^k kyx}{X} & \dfrac{\sqrt{X}^k ky^2}{X} + \sqrt{X}^k & \dfrac{\sqrt{X}^k kzy}{X} \\ & \\
\dfrac{\sqrt{X}^k kzx}{X} & \dfrac{\sqrt{X}^k kzy}{X} & \dfrac{\sqrt{X}^k kz^2}{X} + \sqrt{X}^k\end{array}\right)$
[/mm]
So. Nun kann ich sehen, dass die Jacobi-Matrix in (0,0,0) nicht definiert ist.
Heißt das jetzt, sie ist überall diff'bar und dort nicht, bzw. in (0,0,0) muss ich prüfen, ob
[mm] $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \dfrac{f(x,y,z)-f(0,0,0) - f_x(0,0,0)x-f_y(0,0,0)-f_z(0,0,0)}{|(x,y,z)|} [/mm] = 0$
ist? Das wäre nämlich erfüllt. Ist sie dann also überall diff'bar??
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 16.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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