Prüfgröße für F-Test < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
im u.s. Beispiel, aus dem Buch Mathematische Statistik 1 (Witting 1985), wird ein F-Test hergeleitet. Eine weitere F-Test Prüfgröße liegt dem folgenden Testproblem zu Grunde.
[mm] \underline{Beispiel\ 1}
[/mm]
W sei ein r-dimensionaler Unterraum des [mm] \IR^n, [/mm] weiter sind unabhängige [mm] \mathcal{N}(\mu_{i} ,\sigma^2)-verteilte [/mm] ZG X_ij, j=1,.., [mm] n_i, [/mm] i=1,2, mit [mm] Y=(X_{11},.., X_{1n_1}, X_{21},.., X_{2n_2})^T \sim\mathcal{N}(\zeta,\sigma^2 I_n) [/mm] gegeben. Dann ergibt sich für das Testproblem [mm] H_0: \zeta\in \{\mu\in \IR^n | \mu_1=... =\mu_n\}=:W_0 [/mm] gegen [mm] H_1: \zeta\in W\setminus W_0 [/mm] der allgemeinen Likelihood-Quotienten:
[mm] \frac{\sup_{\theta\in \Theta}p(y,\theta)}{\sup_{\theta\in \Theta_0}p(y,\theta)}=\frac{p(y,\widehat{\theta})}{p(y,\widehat{\theta_0})}=\left(\frac{\|y-\widehat{\zeta_0}(y)\|^2}{\|y-\widehat{\zeta}(y)\|^2}\right)^{n/2}, [/mm] dabei sind [mm] \widehat{\zeta} [/mm] und [mm] \widehat{\zeta_0} [/mm] UMVUE-Schätzer für [mm] \zeta [/mm] und [mm] \zeta_0. [/mm] Monotone Transformation führt zu [mm] V_n(y)=\frac{n-r}{r-q} \left(\frac{\|y-\widehat{\zeta_0}\|^2}{\|y-\widehat{\zeta}\|^2}-1\right)=\frac{n-r}{r-q} \frac{\|y-\widehat{\zeta_0}(y)\|^2-\|y-\widehat{\zeta}(y)\|^2}{\|y-\widehat{\zeta}(y)\|^2}, [/mm] wobei [mm] V_n\sim F_{r-q, n-r}-verteilt [/mm] ist.
[mm] \underline{Beispiel\ 3.73\ (Witting)}:
[/mm]
Zur Überprüfung der Schwankung zweier Herstellungsmethoden werden [mm] n_1+n_2 [/mm] unabhängige Überprüfungen vorgenommen mit den Ergebnissen [mm] x_{11},.., x_{1n_1}, x_{21},.., x_{2n_2}, [/mm] und es sei gerechtfertigt diese als Realisierung st.u. [mm] \mathcal{N}(\mu_i,\sigma_i^2)-verteilter [/mm] ZG [mm] X_{ij}, [/mm] j=1,.., [mm] n_i, [/mm] i=1,2, aufzufassen; [mm] \nu=(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2)\in \IR^2 \times \left]0,\inf\right[^2. [/mm] Die gemeinsame Verteilung ist also Element einer vierparametrigen Expoentialfamilie, die sich mit [mm] \begin{array}{cccc}
\eta=\frac{-1}{2\sigma_1^2}+\frac{1}{2\sigma_2^2},& \xi_2=\frac{-1}{2\sigma_2^2},& \xi_3=\frac{\mu_1}{\sigma_1^2},& \xi_4=\frac{\mu_2}{2\sigma_2^2},\\
U(x)=\sum x_{1j}^2,& V_2(x)=\sum x_{1j}^2+\sum x_{2j}^2,& V_3(x)=\sum x_{1j},& V_4(x)=\sum x_{2j}
\end{array}
[/mm]
in der Form (3.3.26) schreiben lässt. Dann sind die Hypothesen H: [mm] \sigma_1^2 \leq \sigma_2^2, [/mm] K: [mm] \sigma_1^2 >\sigma_2^2 [/mm] bzw. H: [mm] \sigma_1^2 =\sigma_2^2, [/mm] K: [mm] \sigma_1^2\neq\sigma_2^2 [/mm] von der Form (3.3.25) mit [mm] \eta_0=0. [/mm] Da [mm] \xi_2,\xi_3 [/mm] und [mm] \xi_4 [/mm] unabhängig voneinander nicht-degenerierte Intervale durchlaufen, gibt es nach den Sätzen 3.60 und 3.62 gleichmäßig beste unverfälschte [mm] \alpha-Niveau [/mm] Tests. Äquivalente nicht-bedingte Tests erhalten wir durch die Transformation [mm] \widetilde{u}=h_v(u)=\left(u-\frac{v_3 ^2}{n_1}\right) [/mm] / [mm] \left(v_2-\frac{v_3^2}{n_1} - \frac{v_4^2}{n_2}\right). [/mm] Es erfüllt [mm] (u,v)\mapsto h_v(u) [/mm] die Voraussetzungen von Satz 3.70a und 3.70b, so dass die Form der Tests erhalten bleibt. Andererseits ist die bedingte Verteilung von [mm] \widetilde{U}=h_V(U) [/mm] bei gegebenen V=v für [mm] \eta=0 [/mm] unabhängig von v wählbar, da [mm] \widetilde{U} [/mm] für [mm] \sigma_1^2=\sigma_2^2 [/mm] einer [mm] B_{(n_1 -1)/2,(n_2 -1)/2}-Verteilung [/mm] genügt. Meist benutzt man statt der [mm] B_{(n_1 -1)/2,(n_2 -1)/2}-verteilten [/mm] Prüfgröße [mm] \widetilde{U}(x), \widetilde{\widetilde{U}}(x)=\frac{(n_2-1)\widetilde{U}(x)}{(n_1 -1)(1-\widetilde{U}(x))}, [/mm] da [mm] \widetilde{\widetilde{U}} [/mm] einer häufig vertafelten (zentralen) [mm] F_{n_1 -1,n_2 -1} [/mm] Verteilung genügt.
(3.3.26) [mm] p_{\eta\xi}(x)=C(\eta,\xi) exp(\eta U(x)+\langle\xi,V(x)\rangle) [/mm] |
Die Ausgangs Modelle sind sich in beiden Bsp. ähnlich nicht gleich. Jedoch würde ich gern wissen, ob man durch die Überlegungen aus Bsp. 3.37 auch im anderen Bsp. zu der Prüfgröße [mm] V_n [/mm] kommt?
Die Frage aufgreifend, ist ersteinmal die Dichte entsprechend 3.3.26 für das obige Modell zu erstellen. Das bedeutet [mm] V_n [/mm] soll gleich [mm] \widetilde{\widetilde{U}} [/mm] sein.
[mm] \widetilde{\widetilde{U}}(x)=\frac{(r-q)\widetilde{U}(x)}{(n -r)(1-\widetilde{U}(x))}
[/mm]
[mm] \widetilde{U}(x)=\|x-\widehat{\zeta_0}(x)\|^2-\|x-\widehat{\zeta}(x)\|^2=\sum (x_{1j}-\overline{x}_{\bullet\bullet})+\sum (x_{2j}-\overline{x}_{\bullet\bullet}) [/mm] und
[mm] 1-\widetilde{U}(x)=\|x-\widehat{\zeta}(x)\|^2=\sum (x_{1j}-\overline{x}_{1\bullet})+\sum (x_{2j}-\overline{x}_{2\bullet}).
[/mm]
Nun weiß ich nicht mit welcher exp.-Familien-Element und welcher Transformation ich auf das entsprechende [mm] \widetilde{U} [/mm] komme. Würde man das Modell aus 3.73 hernehmen, könnte man über die Transformation [mm] \widetilde{u}=h_v(u)=\left(v_2-\frac{v_3^2}{n_1} - \frac{v_4^2}{n_2}\right) /\left(???\right) [/mm] gehen, dabei ergibt sich der Teil ohne Fragezeichen aus der Verschiebungsformel. Jedoch weiß ich nicht was ich anstelle der Fragezeichen einsetzen müsste, und wie man das Problem generell von vorne aufrollt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Fr 14.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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