Prüfung ob Dichte gegeben < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist durch
f(x) = [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] für x < -1
f(x) = 0 für 1- <= x => 1
f(x) = [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] für x > 1
eine Dichte einer stetigen Zufallsgröße gegeben? |
Ich habe hier leider keine Idee. Vielleicht müsste man auf Stetigkeit prüfen, bin mir aber nicht sicher.
Wer kann einen Denkanstoß geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
ich schreib deine Funktion mal in schön hin. Mach das doch nächstemal auch, indem du den Editor benutzt!
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0 & -1 \le x \le 1 \\ \bruch{1}{2x^2} & \mbox{ sonst} \end{cases}$
[/mm]
Was sind denn die Eigenschaften einer Dichtefunktion?
Diese müsstest du jetzt hier nachprüfen.
MFG
Gono.
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a) Hinreichende Bedingung: Stetigkeit
b) [mm] \integral_{\infty}^{-\infty}{f(x) dx} [/mm] = 1
c) P [mm] (X\in [/mm] N) = 0
Ist das so korrekt?
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Huhu,
> a) Hinreichende Bedingung: Stetigkeit
wo hast du das her? Meßbarkeit würde ausreichen.
> b) [mm]\integral_{\infty}^{-\infty}{f(x) dx}[/mm] = 1
Das wäre schonmal gut.
> c) P [mm](X\in[/mm] N) = 0
Wo kommt das her?
Wie wärs mal mit Nichtnegativität?
Also eigentlich musst du nur eine deiner Bedingungen prüfen.
Dann mal los 
MFG,
Gono.
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Nichtnegativität ist gegeben, weil f(x)=0 oder f(x)=positives Ergebnis.
Wie zeige ich die Normierung?
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Hi,
> Nichtnegativität ist gegeben, weil f(x)=0 oder f(x)=positives Ergebnis.
>
> Wie zeige ich die Normierung?
Indem du überprüfst, ob [mm] $\integral_{\infty}^{-\infty}{f(x) dx}=1$ [/mm] gilt.
Bei deinem f gilt (warum?):
[mm] $\integral_{\infty}^{-\infty}{f(x) dx}=2\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{2x^2} dx}=\ldots$
[/mm]
Gruß Kamaleonti
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Hallo,
Normierung:
[mm]2*\integral_{1}^{\infty}{1/(2*x^2) dx} = 2* [-1/(2*\infty)+( 0,5) = 1][/mm]
Was meinst du mit dem "Warum"?
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Moin,
> Hallo,
>
> Normierung:
>
> [mm]2*\integral_{1}^{\infty}{1/(2*x^2) dx} = 2* [-1/(2*\infty)+( 0,5) ]= 1[/mm]
Besser ist es noch einen Zwischenschritt hinzuschreiben
[mm]2*\integral_{1}^{\infty}\frac{1}{2x^2} dx} = 2\left[\frac{-1}{2x}\right]_1^\infty=2\left(0-\frac{-1}{2\cdot1}\right) = 1[/mm]
>
>
> Was meinst du mit dem "Warum"?
Das war in dem Sinne, dass man das noch kurz begründen kann
Gruß
Kamaleonti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Ist durch
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> f(x) = [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm] für x < -1
> f(x) = 0 für 1- <= x => 1
> f(x) = [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm] für x > 1
>
> eine Dichte einer stetigen Zufallsgröße gegeben?
> Ich habe hier leider keine Idee. Vielleicht müsste man
> auf Stetigkeit prüfen, bin mir aber nicht sicher.
>
> Wer kann einen Denkanstoß geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich glaube das "stetig" hier ist obligatorisch gemeint. Soll heißen man soll nur "Dichte" einer ZV prüfen.
Ein ZV heißt stetig, wenn Ihr Bildmaß eine Dichte gegen das Lebesgue-Maß hat:
[mm] P^X(B)=P(\{X\in B\})=\integral_B fd\lambda.
[/mm]
Damit dieses Integral Sinn macht, muss f meßbar sein. Und da ja ein W-Maß damit definiert sein soll, muss [mm] \integral_\IR [/mm] f(x)dx=1 gelten. [mm] f(x)\ge [/mm] 0 kann dabei auf einer Menge vom Maß 0 verletzt sein.
Manchmal wird mit stetiger ZV auch gemeint, dass die Verteilungsfunktion [mm] F_X(t)=P^X((-\infty,t]) [/mm] (absolut) stetig sein soll, was aber automatisch der Fall ist, wenn der Ausgangspunkt eine Dichte ist, da sie dann durch Integration über die Dichte gegeben ist.
LG
gfm
LG
gfm
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