Punkt, Gerade und Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:17 So 04.06.2006 | | Autor: | BeniMuller |
| Aufgabe |
Gegeben :
Punkt [mm]A = ( 1/ 2/ 2)[/mm]
Punkt [mm]P = ( 2/ -3/ 5)[/mm]
Gerade [mm]g : \ \vec{r} \ = \ \vektor{2 \\ 2\\2 } \ + \ t*\vektor{2\\1\\0} \ , \ t \in \ \IR [/mm]
Ebene [mm]F : \ 2x \ +\ 3y \ +\ 3z \ -\ 10 \ =\ 0[/mm]
Die Ebene [mm]E[/mm] geht durch die Gerade [mm]g[/mm] und den Punkt [mm]A[/mm].
Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von [mm]E[/mm].
Auf welcher der beiden Ebenen liegt der Punkt [mm]P[/mm] ?
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Ansatz: Ebene [mm]E: ax \ + \ by \ + \ cz \ = \ d [/mm]
Normale zur Ebene [mm]E[/mm] ist der Vektor [mm]\vec{n}_{E} \ = \ \vektor{a\\b\\c}[/mm]
Zur Berechnung der Normalen wählen wir zwei beliebige, nicht zusammenfallende Punkte [mm]B[/mm] und [mm]C[/mm] auf der Geraden [mm]g[/mm] indem wir in der Parameterdarstellung der Geraden [mm][/mm] z.B. [mm]t_{1} =0[/mm] und [mm]t_{2} = 1[/mm] setzen:
[mm]\vec{b} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 0 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{2\\2\\2} [/mm]
[mm]\vec{c} \ = \ \vektor{2\\2\\2} \ + \ 1 \ * \ \vektor{2\\1\\0} \ = \ \vektor{4\\3\\2} [/mm]
Die Normale steht auf allen Geraden der Ebene senkrecht, also insbesondere auf
[mm](\vec{b} \ - \ \vec{a}) [/mm] und [mm](\vec{c} \ - \ \vec{a}) [/mm]
Wir bilden das Vektroprodukt, um zu zwei Vektoren einer Ebene die Senkrechte zu finden.
[mm] \vec{n}_{E} \ = \ (\vec{b} \ - \ \vec{a} ) \times (\vec{c} \ - \ \vec{a} )
\ = \ (\vektor{2\\2\\2}-\vektor{1\\2\\2}) \ \times \ (\vektor{4\\3\\2}-\vektor{1\\2\\2})
\ = \ \vektor{1\\0\\0} \times \ \vektor{3\\1\\0}
\ = \ \vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Daraus ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene [mm]E[/mm]:
[mm]0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ d[/mm]
Um [mm]d[/mm] zu bestimmen, setzen wie den Punkt [mm]A \ = \ (1 / 2 / 2)[/mm] in die eben gewonnene Ebenengleichung ein:
[mm]0*1 \ + \ 0*2 \ + \ 1*2 \ = \ d[/mm]
daraus: [mm]d \ = \ 2[/mm] in die Ebenengleichung von [mm]E[/mm] eingesetzt:
[mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]
In welcher Ebene liegt jetzt der Punkt [mm]P[/mm] ?
Test von Punkt [mm]P = (2 / -3 / 5)[/mm] mit den beiden Ebenen [mm]E[/mm] und [mm]F[/mm] :
[mm]E: \ 0x \ + \ 0y \ + \ 1*z \ = \ 2[/mm]
[mm] \ 0*2 \ + \ 0*(-3) \ + \ 1*5 \ = \ 5 \ \not= \ 2[/mm] falsch
[mm]F : 2x \ + \ 3y \ + \ 3z \ = \ 10 [/mm]
[mm]2*2 \ + \ 3*(-3) \ + \ 3*5 \ =4 \ - \ 9 \ + \ 15 \ = \ 10 \ = \ 10[/mm] richtig
Der Punkt [mm]P[/mm] liegt in der Ebene [mm]F[/mm]
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Bitte um Kontrolle und Tipps für alternative Wege.
Herzliche Pfingstgrüsse aus Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 04.06.2006 | | Autor: | rotespinne |
Hallo!
Wenn wir etwas prüfen sollen wäre es auch gut wenn irgendwo eine Aufgabe samt Rechung wäre??
Grüße von der Spinne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 04.06.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Rote Spinne, war nicht beabsichtigt, dass das schon unfertig abgeschickt wurde. Jetzt ist meine Frage abgeschlossen und Dein kritischer Blick erwünscht.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 04.06.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Disap
Ganz herzlichen Dank für Deine Überlegungen zu alternativen Lösungswegen. Da ich diese Dinge vor 35 Jahren mal studiert habe, kommen sie mir nicht ganz unbekannt aber manchmal etwas suspekt vor. Umso glücklicher bin ich über die schnelle und professionelle Hilfe, die von Dir und den anderen Mitgliedern des Forums hier geboten wird.
Grüsse auf dem Süden
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