Punkt auf einem Rad < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 10.11.2007 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | | Ein Rad mit dem Radius R rolle mit konstanter Bahngeschwindigkeit [mm] \overrightarrow{v}=v_0 [/mm] , 0) auf einer horinzontalen Unterlage ab. Ein Punkt auf dem Umfang des Rades stimme zum Zeitpunkt t=0s mit dem Auflagepunkt des Rades im Koordinatenursprung des ortsfesten (Labor-)Koordinatensystem überein. Berechnen Sie als Funktion der Zeit den Ortsvektor des Punktes im Laborsystem. |
Hallo!
Mit der Beschreibung dieser "Bahnkurve" habe ich wieder Probleme. habe mir erstmal ne Skizze dazu gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich weiß allerdings nicht, wie ich dem eine Funktion der Zeit zuordnen soll. Habe erstmal gedacht es sei eine Sinuskurve, die dann halt nur im positiven Bereich liegt, also den Betrag vom sinus oder diesem zum Quadrat. Wie ich das aber nun rechnen soll ist mir schleierhaft.
Wie gehe ich bei der Aufgabe vor? Danke für eure Bemühungen!
Gruß ONeill
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo!
Das mit dem sin ist nicht richtig, auch wirst du nicht so einfach eine Funktion der Art y=f(x) bekommen.
Du brauchst einen Vektor!
Ein um den Ursprung kreisender Punkt kann durch [mm] \vektor{\cos t \\ \sin t} [/mm] Dieser Punkt rotiert einmal die Sekunde im Abstand 1 um den Ursprung, und zwar gegen den Urzeigersinn. Du brauchst "mit dem Urzeigersinn". Wie kannst du das erreichen?
Und: Der Punkt beginnt bei t=0 in der 3-Uhr-Position, er soll aber unten, bei 6 Uhr anfangen. Das kannst du machen, indem du [mm] t\mapsto (t+\phi) [/mm] einsetzt. Dieses [mm] \phi [/mm] ist eine Konstante, die den Startwert des Punktes festlegt. Nachdem du die Rotationsrichtung umgekehrt hast, kannst du dir überlegen, wie groß [mm] \phi [/mm] sein muß, damit für t=0 der Vektor (0;-1) rauskommt.
Dann weiter. Das Rad soll auf der x-Achse abrollen. Demnach mußt du das rad erstmal anheben, damit der unterste Punkt auf der x-Achse zu liegen kommt. Du mußt zu dem Vektor also einen weiteren Vektor hinzuaddieren.
Jetzt die seitliche Bewegung. Auch da kommt ein Vektor hinzu, der ne gleichmäßge Geschwindigkeit beschreibt: [mm] \vektor{vt \\ 0}
[/mm]
Wie groß muß v sein? Du mußt das ja mit der Rotationsbewegung in Einklang bringen, damit du weder "Brems-" noch "beschleunigungsspuren" bekommst. (Das rad darf nicht rutschen!)
Insgesamt also ne Summe von drei Vektoren, das schwierigste ist wohl, die Drehbewegung korrekt hinzuschreiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 10.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Event_Horizon und schon mal danke für deine Hilfe!
> Du brauchst einen Vektor!
>
> Ein um den Ursprung kreisender Punkt kann durch
> [mm]\vektor{\cos t \\ \sin t}[/mm] Dieser Punkt rotiert einmal die
> Sekunde im Abstand 1 um den Ursprung, und zwar gegen den
> Urzeigersinn. Du brauchst "mit dem Urzeigersinn". Wie
> kannst du das erreichen?
Kann ich einfach der x-Komponente nen negatives Vorzeichen verpassen? Dann müsste sich das Rad doch im Uhrzeigersinn bewegen.
> Und: Der Punkt beginnt bei t=0 in der 3-Uhr-Position, er
> soll aber unten, bei 6 Uhr anfangen. Das kannst du machen,
> indem du [mm]t\mapsto (t+\phi)[/mm] einsetzt. Dieses [mm]\phi[/mm] ist eine
> Konstante, die den Startwert des Punktes festlegt. Nachdem
> du die Rotationsrichtung umgekehrt hast, kannst du dir
> überlegen, wie groß [mm]\phi[/mm] sein muß, damit für t=0 der Vektor
> (0;-1) rauskommt.
Also ist das praktisch eine viertel Drehung Unterschied. Eine Umdrehung ist [mm] 2\pi, [/mm] die Viertelumdrehung ist dann [mm] 0,5\pi.
[/mm]
Wir haben erstmal [mm]\vektor{\cos (t+\phi) \\ \sin (t+\phi}[/mm], wobei [mm]\phi=0,5\pi[/mm]
=>[mm]\vektor{\cos (t+0,5\pi) \\ \sin (t+0,5\pi}[/mm]
> Dann weiter. Das Rad soll auf der x-Achse abrollen. Demnach
> mußt du das rad erstmal anheben, damit der unterste Punkt
> auf der x-Achse zu liegen kommt. Du mußt zu dem Vektor also
> einen weiteren Vektor hinzuaddieren.
Da sich das Rad "zuvor" um den Ursprung gedreht hat, muss ich es in y-Richtung um den Radius anheben, damit die Lauffläche über die x-Achse rollt. Der Vektor (nenn ich mal a) ist dann [mm] \overrightarrow{a}=[/mm] [mm]\vektor{0 \\ R}[/mm]
Wenn ich die beiden addiere:
[mm]\vektor{\cos (t+0,5\pi) \\ \sin (t+0,5\pi)+R}[/mm]
> Jetzt die seitliche Bewegung. Auch da kommt ein Vektor
> hinzu, der ne gleichmäßge Geschwindigkeit beschreibt:
> [mm]\vektor{vt \\ 0}[/mm]
>
> Wie groß muß v sein? Du mußt das ja mit der
> Rotationsbewegung in Einklang bringen, damit du weder
> "Brems-" noch "beschleunigungsspuren" bekommst. (Das rad
> darf nicht rutschen!)
Ok also wenn sich das Rad ein mal um sich selbst dreht entspricht das einer Strecke von [mm] 2\pi. [/mm] Das ganze geschieht mit der Bahngeschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] (laut Aufgabenstellung). In der Zeit muss sich das Rad um 2R nach rechts bewegt haben.
Über v=s/t komme ich dann auf den Zusammenhang:
[mm] v_2=\bruch{R*v_0}{\pi}
[/mm]
Wobei [mm] v_2 [/mm] die Bewegung des Rades in x-Richtung sein soll. Der Vektor wäre dann:
[mm] \overrightarrow{a}=[/mm] [mm]\vektor{ \bruch{R*v_0}{\pi}\\ 0}[/mm]
Wie mach ich denn jetzt weiter, bzw sind meine Schritte überhaupt richtig?
Lg ONeill
|
|
|
| |
|
Hallo!
Du bist damit vollkommen auf dem richtigen weg.
Nur zwei Dinge noch: Der Umfang ist [mm] $2\pi [/mm] R$, daher ist die Geschwindigkeit [mm] $v_0=\Delta2\pi R/\Delta T=2\pi [/mm] R$ Denn [mm] $\Delta [/mm] T=1$! Ich habe das einfach mal so festgelegt.
Und: diese Geschwindigkeit verursacht eine Bewegung [mm] \vektor{v_0\red t \\0}
[/mm]
Jetzt noch die drei Vektoren, also für die Kreisbewegung, für die Verschiebung und die Gradeausbewegung addieren, und du bist fertig.
Was ich eben nicht bedacht habe: In sin und cos gehört eigentlich ein [mm] $\omega [/mm] t$ rein, aber ich habe willkürlich [mm] \omega=1 [/mm] gesetzt. Daher muß am ende die Gradeausgeschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] ausgerechnet werden.
Natürlich kann man auch sagen (das ist sinnvorller), daß man [mm] v_0 [/mm] kennt, und dann [mm] \omega [/mm] ausrechnen. Es gilt nämlich EIGENTLICH die Beziehung
[mm] $v_0= \omega [/mm] R$
Übrigens, diese halbkreisartigen Dinger haben ziemlich herausragende Bedeutung! Wenn du an der Straße so Pfosten siehts, die mit ner Kette verbunden sind, diese Kette beschreibt genau diese Form, wenn du sie an der x-Achse spiegelst.
Oder das hier (wieder am gespiegelten Graphen): Egal, an welcher Stelle du einen Gegenstand auf diese Kurve bringst, er wird IMMER die gleiche Zeit brauchen, bis er durch Gravitation den tiefsten Punkt erreicht hat. Daher heißen diese Kurven auch Brachistochonen, was so viel wie "gleiche Zeit" bedeutet.
Nachdem du übrigens deine vektorielle Größe berechnet hast, kannst du versuchen, daraus t zu eliminieren, dann bekommst du auch y=f(x) . Wenn du das schaffst, wirst du sehen, daß du da vermutlich nur schwer direkt drauf gekommen wärst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:56 So 11.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Event_Horizon!
> Du bist damit vollkommen auf dem richtigen weg.
Na das beruhigt mich schon mal 
>
> Nur zwei Dinge noch: Der Umfang ist [mm]2\pi R[/mm], daher ist
Ja da hast natürlich recht.
> die Geschwindigkeit [mm]v_0=\Delta2\pi R/\Delta T=2\pi R[/mm] Denn
> [mm]\Delta T=1[/mm]! Ich habe das einfach mal so festgelegt.
>
>
> Und: diese Geschwindigkeit verursacht eine Bewegung
> [mm]\vektor{v_0\red t \\0}[/mm]
>
>
> Jetzt noch die drei Vektoren, also für die Kreisbewegung,
> für die Verschiebung und die Gradeausbewegung addieren, und
> du bist fertig.
>
>
> Was ich eben nicht bedacht habe: In sin und cos gehört
> eigentlich ein [mm]\omega t[/mm] rein, aber ich habe willkürlich
> [mm]\omega=1[/mm] gesetzt. Daher muß am ende die
> Gradeausgeschwindigkeit [mm]v_0[/mm] ausgerechnet werden.
Mhh also dann korrigier ich erstmal:
[mm]\vektor{-\cos (\omega*t+0,5\pi) \\ \sin (\omega*t+0,5\pi)+R}[/mm]
Ich hatte außerdem noch das negative Vorzeichen beim cos vergessen, dass hab ich nun mal abgeändert.
> Natürlich kann man auch sagen (das ist sinnvorller), daß
> man [mm]v_0[/mm] kennt, und dann [mm]\omega[/mm] ausrechnen. Es gilt nämlich
> EIGENTLICH die Beziehung
>
> [mm]v_0= \omega R[/mm]
Bin jetzt grad etwas verwirrt. Also mit [mm] v_0 [/mm] meinst du die x-Kompontente der Bahngeschwindigkeit, richtig?
Und ich brauche jetzt die Bewegung des Rades nach rechts also praktisch in die x-Richtung.
Kann ich dann einfach sagen, dass mein Bewegungsvektor so aussieht:
[mm] \vektor{\omega R*t \\ 0}
[/mm]
Ok jetzt alle Vektoren zusammenrechnen:
[mm] \vektor{-\cos (\omega\cdot{}t+0,5\pi) \\ \sin (\omega\cdot{}t+0,5\pi)+R}+\vektor{\omega R*t \\ 0}=\vektor{-\cos (\omega\cdot{}t+0,5\pi)+\omega R*t \\ \sin (\omega\cdot{}t+0,5\pi)+R}
[/mm]
Das wäre dann also mein fertiges Ergebnis, wenn nun alles richtig ist/wäre.
Ich hoffe das kann nun noch mal jemand bestätigen.
> Übrigens, diese halbkreisartigen Dinger haben ziemlich
> herausragende Bedeutung! Wenn du an der Straße so Pfosten
> siehts, die mit ner Kette verbunden sind, diese Kette
> beschreibt genau diese Form, wenn du sie an der x-Achse
> spiegelst.
>
>
> Oder das hier (wieder am gespiegelten Graphen): Egal, an
> welcher Stelle du einen Gegenstand auf diese Kurve bringst,
> er wird IMMER die gleiche Zeit brauchen, bis er durch
> Gravitation den tiefsten Punkt erreicht hat. Daher heißen
> diese Kurven auch Brachistochonen, was so viel wie "gleiche
> Zeit" bedeutet.
Mhh dann kann man mit solchen Rechnungen ja noch was anderes Anfangen, als nur Studenten zu quälen
Großes Dankeschön für deine Hilfe!
Gruß ONeill
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Waschi |
Hallo ONeill,
ich habe hier die Formel für die Galileotransformation verwendet:
[mm] \vec{v}(t)=\vektor{R*cos(\omega*t)+v_0*t \\ R*sin(\omega*t)}
[/mm]
jetzt mit dem Vektor (0,R) nach oben verschoben, das Vorzeichne der x-Koordinate geändert und mit [mm] \pi/2 [/mm] den Startpunkt auf die x-Achse verlegt. Kommt bei mir raus:
[mm] \vec{v}(t)=\vektor{-R*cos(\omega*t-\bruch{\pi}{2})+v_0*t \\ R*sin(\omega*t-\bruch{\pi}{2})+R}
[/mm]
Wo ist denn dein R geblieben?
Gruß Waschi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Waschi |
Hallo, habe in diesem Thread gerade eine Frage zu einer Frage gestellt, leider hat sich der Status nicht geändert. Deshalb nochmal dieser Post. Gruß Waschi
|
|
|
| |
|
Ich hab das mit der Frage/Antwort mal korrigiert.
Du hast recht, vor SIN / COS fehlt auch noch ein R, das hatte ich oben nicht erwähnt, weil ich zunächst an R=1 dachte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo zusammen!
> Wo ist denn dein R geblieben?
Ja da hat noch was gefehlt. Habe die Aufgabe nun hinbekommen. Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß ONeill
|
|
|
|
