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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 So 22.02.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=ax^{2}+2a^{2x}, [/mm] a>0, x=a.
Frage: Liegt an der Stelle x ein Hoch-,Tief-,Wende-,oder Sattelpunkt vor? |
Hallo zusammen^^
Ich bin grad mit dieser Aufgabe beschäftigt,komme jedoch nicht weiter.
Ich hab zunächst mal die Ableitungen [mm] gebildet,f'(x)=2ax-4a^{2x} [/mm] und [mm] f''(x)=2a-8a^{2x}.
[/mm]
Jetzt setz ich die 1.Ableitung =0
[mm] 2ax-4a^{2x}=0
[/mm]
[mm] 2ax=4a^{2x}
[/mm]
[mm] 2ax=(2a^{x})^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{2ax}=2a^{x}
[/mm]
[mm] ln(\wurzel{2ax})=x
[/mm]
kann ich jetzt für das x unter der Wurzel x=a schreiben?Also
[mm] ln(\wurzel{2a^{2}})=x
[/mm]
wenn ich das in f''(x) einsetze,dann kommt da raus [mm] f''(x)=2a-8a^{2*ln(\wurzel{2a^{2}})}
[/mm]
Irgendwie ist das komisch,stimmt das überhaupt was ich da gerechnet hab?
Vielen Dank
lg
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Du leitest die Funktion nach x ab - und das taucht auch in dem zweiten Summanden auf, d.h. weil in dem [mm] 2a^{2x} [/mm] auch ein x im Exponenten auftaucht, musst du das auch entsprechend der Regeln ableiten (z.B. indem du das als [mm] 2e^{2x* ln(a)} [/mm] schreibst und mit Kettenregel ableitest).
Wenn du dann die erste Ableitung gleich 0 setzt, sollte als eine Lösung a herauskommen (das lese ich aus deiner Aufgabenstellung heraus), die du dann entsprechend dem üblichen Verfahren überprüfen musst, sprich: deine errechnete Stelle x=a in die zweite Ableitung einsetzen und je nach Ergebnis mit Hilfe des üblichen Kriteriums entscheiden, ob es Hoch-/Tiefpunkt ist oder ob weitere Untersuchungen nötig sind (wenn f''(a)=0 ist, solltest du mal das Vorzeichenwechselkriterium versuchen).
Viel Erfolg dabei!
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