Punkte auf dem Kegelschnitt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Fr 01.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] ax^2+2bxy+cy^2+d=0 [/mm] ist die Gleichung des Kegelschnitts. Bestimme für
[mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0 [/mm] die Punkte auf dem Kegelschnitt die nach dem Satz über den Lagrangeschen Multiplikator als Punkte extremalen Abstands vom Ursprung in Frage kommen. |
Hier habe ich keinen Plan, was zu tun ist. Der Langrange Multiplikator sagt mir etwa sim zusammenhang mit Optimierungsproblemen, also einer Funktion mit Nebenbedingung.
Ist das hier auch der Fall? Das das Zahlenbeispiel meine Nebenbedingung ist und ich [mm] \delte (x,y\lambda) [/mm] bilden muss mit [mm] f(x,y)+\lambda(g(x,y)-c)? [/mm] wobei hier f meine Gleichung des Kegelschnitts ist und g das Zahlenbeispiel ?
LG
heinze
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch den Abstand von (0,0) minimieren, bzw maximieren wie gross ist denn der Abstand?. und der Punkt muss auf der Kurve liegen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
das ist mir grad nicht klar, was du damit meinst.
Meine Idee war: http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator#Beispiel
Das Beispiel bei Wikipedia meine ich hier. Das was hier zu amchen ist, ist doch eigentlich ähnlich oder?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 So 03.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> das ist mir grad nicht klar, was du damit meinst.
>
> Meine Idee war:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator#Beispiel
>
> Das Beispiel bei Wikipedia meine ich hier. Das was hier zu
> amchen ist, ist doch eigentlich ähnlich oder?
Ja, bestimme Min. und Max. von [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung
$ [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0 [/mm] $
FRED
>
>
> LG
> heinze
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 03.06.2012 | | Autor: | heinze |
Also ich habe als Gleichung vom Kegelschnitt:
[mm] ax^2+2bxy+cy^2+d=0 [/mm]
und das Zahlenbeispiel [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy-7y^2-64=0 [/mm]
Ich habe dann also die Nebenbedingung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist das richtig?? Weil es ja um den Kegelschnitt geht und dementsprechend eine Kreisfläche benötigt wird.
Dann:
NB: [mm] g(x,y)=x^2+y^2-1 [/mm]
Mit dem Lagrange Multiplikator folgt dann:
[mm] \Lambda(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda(g(x,y)-c)
[/mm]
= [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy-7y^2-64+\lambda(x^2+y^2-1)
[/mm]
= [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy-7y^2-64+\lambda x^2+\lambda y^2-\lambda)
[/mm]
Dann bilde ich die ersten Ableitungen und setze diese =0
1. [mm] f_x=26x-6\wurzel{3}y+2\lambda [/mm] x=0
2. [mm] f_y=-6\wurzel{3}x+14y+2\lambda [/mm] y=0
3. [mm] f_{\lambda}=x^2+y^2-1
[/mm]
3. nach x auflösen: x=1-y
Hier kriege ich etwas Probleme mit dem auflösen nach x,y und lambda.
Aber ist der Ansatz soweit ok?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Soweit auch meine Idee. Ab den Ableitungen komme ich allerdings nicht weiter....also umstellen nach [mm] x,y,\lambda.
[/mm]
Ist die Idee so richtig? Kann man tatsächlich hier [mm] x^2+y^2-1=0 [/mm] als Nebenbedingung nutzen?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
siehe andere Antwort.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 04.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie liest du eigentlich posts?
lies mal langsam den von fred!
mit Kreisflaeche hat das nix zu tun!
kurz, du machst was falsch!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okay...aber woher weiß ich, dass gilt [mm] f(x,y)=x^2+y^2?? [/mm]
Muss ich also den Lagrange Multiplikator auf mein Zahlenbeispiel anwenden?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
> Okay...aber woher weiß ich, dass gilt [mm]f(x,y)=x^2+y^2??[/mm]
Hallo,
es geht doch um den Abstand d von Punkten der xy-Ebene zum Ursprung.
Welchen Abstand hat der Punkt [mm] P_1(3|4) [/mm] vom Ursprung? d(3,4)= ???
Welchen Abstand hat der Punkt [mm] P_1(1|-9) [/mm] vom Ursprung? d(1,-9)= ???
Welchen Abstand hat der Punkt [mm] P_1(x|y) [/mm] vom Ursprung? d(x,y)= ???
Die zu optimierende Funktion ist also eigentlich die Abstandfunktion - auf die NB komme ich später zu sprechen.
Da derAbstand immer positiv ist, kann man statt der Abstandsfunktion auch ihr Quadrat [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] optimieren. Das ist bequemer. Du optimierst also f.
Nun kommt die NB ins Spiel. Wir interessieren uns nicht für alle Punkte der Ebene, sondern nur für die, die der Nebenbedingung $ [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0 [/mm] $ gehorchen.
Auf [mm] 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64 [/mm] läßt Du den Multiplikator [mm] \lambda [/mm] los.
LG Angela
>
> Muss ich also den Lagrange Multiplikator auf mein
> Zahlenbeispiel anwenden?
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
| |
|
Gut, dann würde also gelten mit dem Lagrange Multiplikator:
[mm] x^2+y^2+\lambda(13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64)=0
[/mm]
[mm] =x^2+y^2+13\lambda x^2-6\wurzel{3}\lambdaxy+7\lambday^2-64\lambda)=0
[/mm]
[mm] f'(x)=2x+26\lambda x-6\wurzel{3}\lambda [/mm] y=0
[mm] f'(y)=2y-6\wurzel{3}\lambda x+14\lambda [/mm] y=0
[mm] f'(\lambda)= 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0
[/mm]
Jetzt muss ich von den 3 ersten Ableitungen die [mm] x,y,\lambda [/mm] als mögliche Extremstellen bestimmen.
Allerdings hängt es da etwas am Rechnen und ich weiß nicht so recht wie ich die 3 Variablen berechnen kann.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> Gut, dann würde also gelten mit dem Lagrange
> Multiplikator:
>
> [mm]x^2+y^2+\lambda(13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64)=0[/mm]
>
> [mm]=x^2+y^2+13\lambda x^2-6\wurzel{3}\lambdaxy+7\lambday^2-64\lambda)=0[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2x+26\lambda x-6\wurzel{3}\lambda[/mm] y=0
> [mm]f'(y)=2y-6\wurzel{3}\lambda x+14\lambda[/mm] y=0
> [mm]f'(\lambda)= 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0[/mm]
>
> Jetzt muss ich von den 3 ersten Ableitungen die [mm]x,y,\lambda[/mm]
> als mögliche Extremstellen bestimmen.
>
> Allerdings hängt es da etwas am Rechnen und ich weiß
> nicht so recht wie ich die 3 Variablen berechnen kann.
>
Löse f'(x) und f'(y) nach [mm]\lambda[/mm] auf.
Setze diese beiden Lösungen gleich und Du bekommst
Lösungen y in Abhängigkeit von x.
Mit jeder dieser Lösungen gehst Du in [mm]f'\left(\lambda\right)[/mm]
und ermittelst die dazugehörigen Lösungen für x.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
nach [mm] \lamdba [/mm] umgestellt erhalte ich:
[mm] \lambda=\bruch{-x}{13x+3\wurzel{3}y}
[/mm]
[mm] \lambda=\bruch{y}{-7y+3\wurzel{3}x}
[/mm]
[mm] \bruch{-x}{13x+3\wurzel{3}y}=\bruch{y}{-7y+3\wurzel{3}x}
[/mm]
[mm] -x(7y+3\wurzel{3}x)=y(13x+3\wurzel{3}y)
[/mm]
[mm] -7xy-3\wurzel{3}x^2=13xy+3\wurzel{3}y^2
[/mm]
Hier komme ich jetzt nicht so recht weiter wenn ich nach y auflösen will. das Problem ist, dass y und [mm] y^2 [/mm] vorkommt...
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> nach [mm]\lamdba[/mm] umgestellt erhalte ich:
>
> [mm]\lambda=\bruch{-x}{13x\red{+}3\wurzel{3}y}[/mm]
Schau' nochmal nach, nach der Gleichung, die ich weiter oben lese, muss da ein "-" hin ...
> [mm]\lambda=\bruch{y}{-7y+3\wurzel{3}x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{-x}{13x+3\wurzel{3}y}=\bruch{y}{-7y+3\wurzel{3}x}[/mm]
>
> [mm]-x(7y+3\wurzel{3}x)=y(13x+3\wurzel{3}y)[/mm]
> [mm]-7xy-3\wurzel{3}x^2=13xy+3\wurzel{3}y^2[/mm]
>
> Hier komme ich jetzt nicht so recht weiter wenn ich nach y
> auflösen will. das Problem ist, dass y und [mm]y^2[/mm]
> vorkommt...
Ja, da ergibt sich eine quadratische Gleichung in y, und wie man quadrat. Gleichungen löst, weißt du doch ...
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja sorry, da hab ich einen Vorzeichenfehler gemacht.
Wenn ich [mm] y^2 [/mm] und y habe müsste ich ja p-q-Formel nutzen oder ausklammern, aber das geht beides nicht so recht, wenn ich nach einer variablen auflösen will...ich weiß auch grad nicht warum das so ein problem ist...
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo, du hattest
(1) [mm] f'(x)=2x+26\lambda x-6\wurzel{3}\lambda*y=0
[/mm]
(2) [mm] f'(y)=2y-6\wurzel{3}\lambda x+14\lambda*y=0
[/mm]
(3) [mm] f'(\lambda)= 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0 [/mm]
aus (1) folgt
[mm] \lambda=\bruch{x}{3\wurzel{3}y-13x}
[/mm]
aus (2) folgt
[mm] \lambda=\bruch{y}{3\wurzel{3}x-7y}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{3\wurzel{3}y-13x}=\bruch{y}{3\wurzel{3}x-7y}
[/mm]
[mm] x*(3\wurzel{3}x-7y)=y*(3\wurzel{3}y-13x)
[/mm]
[mm] 3\wurzel{3}x^2-7xy=3\wurzel{3}y^2-13xy
[/mm]
[mm] 0=3\wurzel{3}y^2-6xy-3\wurzel{3}x^2
[/mm]
[mm] 0=y^2-\bruch{2x}{\wurzel{3}}y-x^2
[/mm]
[mm] y_1_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}x\pm\wurzel{\bruch{4}{3}x^2}
[/mm]
[mm] y_1_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}x\pm\bruch{2}{\wurzel{3}}x
[/mm]
[mm] y_1=
[/mm]
[mm] Y_2=
[/mm]
die weiteren Schritte stehen ja weiter oben
Steffi
|
|
|
| |
|
dann erhalte ich für y
[mm] y_1=-\bruch{1}{\wurzel{3}}x
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}x
[/mm]
und für x
[mm] x_1= \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_2=-\wurzel{3}
[/mm]
Wenn ich dann für y einsetze erhalte ich [mm] y_1=1 [/mm] und [mm] y_2=-1 [/mm] richtig?
Wenn ich dann x und y einsetze erhalte ich für [mm] \lambda_1= -\bruch{1}{16} [/mm] und [mm] \lambda_2=\bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmen die Werte soweit?
Jetzt muss ich die zweiten Ableitungen bilden und prüfen, für welche [mm] x,y,\lambda [/mm] ein Maximum vorliegt.
[mm] f''(x)=2+26\lambda-6\wurzel{3}\lambda
[/mm]
[mm] f''(y)=2-6\wurzel{3}+14\lambda
[/mm]
[mm] f''(\lambda)=0
[/mm]
Ich kann hier aber ja nur [mm] \lambda [/mm] einsetzen und was ist mit meinen x,y?
demnach dürften ja nur meine negativen x,y werte extremal sein.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo, du scheiterst an einfachsten Dingen:
[mm] y_1=-\bruch{1}{\wurzel{3}}x
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{3}{\wurzel{3}}x
[/mm]
für [mm] y_1 [/mm] bekommst du:
[mm] x_1= \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_2=-\wurzel{3}
[/mm]
ist ok
für [mm] y_2 [/mm] bekommst du:
[mm] x_3=
[/mm]
[mm] x_4=
[/mm]
die fehlen dir doch noch
Steffi
|
|
|
| |
|
..ja..das hab ich ganz vergessen [mm] aufzuschreiben..x_3=2 [/mm] und [mm] x_4=-2
[/mm]
Daher dann also
[mm] y_1=-1
[/mm]
[mm] y_2=3
[/mm]
[mm] y_3=-\bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] y_4=-\bruch{6}{\wurzel{3}}
[/mm]
oder wie muss ich die [mm] x_i [/mm] einsetzen?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> ..ja..das hab ich ganz vergessen [mm]aufzuschreiben..x_3=2[/mm] und
> [mm]x_4=-2[/mm]
>
> Daher dann also
>
> [mm]y_1=-1[/mm]
> [mm]y_2=3[/mm]
> [mm]y_3=-\bruch{2}{\wurzel{3}}[/mm]
> [mm]y_4=-\bruch{6}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> oder wie muss ich die [mm]x_i[/mm] einsetzen?
>
Setze [mm]x_{3}, \ x_{4}[/mm] jetzt in
[mm]y_{2}=\bruch{3}{\wurzel{3}}*x[/mm]
ein.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
also muss ich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in [mm] y_1 [/mm] einsetzen und [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] in [mm] y_2?
[/mm]
das hab ich ja gemacht.
MfG
mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> also muss ich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] in [mm]y_1[/mm] einsetzen und [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm]
> in [mm]y_2?[/mm]
>
Ja.
> das hab ich ja gemacht.
>
Offensichtlich nicht ganz richtig, denn
die Werte für [mm]y_{2}[/mm] und [mm]y_{3}[/mm] stimmen nicht.
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
[mm] y_1=-\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel{3}=-1
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}*-\wurzel{3}=-1
[/mm]
[mm] y_3=\bruch{3}{\wurzel{3}}*2=\bruch{6}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] y_4=\bruch{3}{\wurzel{3}}*-2=-\bruch{6}{\wurzel{3}}
[/mm]
kannst du mir vielleicht sagen wo mein fehler liegt?
Nun muss ich noch [mm] \lambda [/mm] berechnen: setze ich da auch wieder [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] ein? Also ich muss ja am Ende 4 Werte für [mm] \lambda [/mm] haben.
Dann muss ich ja noch prüfen ob es sich um Extremstellen handelt. Ich habe ja die zweiten Ableitungen gebildet, allerdings kann ich ja nur für [mm] \lambda [/mm] einsetzen. Ich nehme mal an, dass nur die negativen x und y Extrempunkte sind?
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
> [mm]y_1=-\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel{3}=-1[/mm]
>
> [mm]y_2=\bruch{1}{\wurzel{3}}*-\wurzel{3}=-1[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]y_2=\blue{-}\bruch{1}{\wurzel{3}}*-\wurzel{3}=\blue{+}1[/mm]
> [mm]y_3=\bruch{3}{\wurzel{3}}*2=\bruch{6}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]y_4=\bruch{3}{\wurzel{3}}*-2=-\bruch{6}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> kannst du mir vielleicht sagen wo mein fehler liegt?
>
> Nun muss ich noch [mm]\lambda[/mm] berechnen: setze ich da auch
> wieder [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm] ein? Also ich muss ja am Ende 4 Werte
> für [mm]\lambda[/mm] haben.
>
Ja.
> Dann muss ich ja noch prüfen ob es sich um Extremstellen
> handelt. Ich habe ja die zweiten Ableitungen gebildet,
> allerdings kann ich ja nur für [mm]\lambda[/mm] einsetzen. Ich
> nehme mal an, dass nur die negativen x und y Extrempunkte
> sind?
>
Setze doch die erhaltenen Lösungspaare (x,y) in die Abstandsfunktion ein.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]y_2=\blue{-}\bruch{1}{\wurzel{3}}*-\wurzel{3}=\blue{+}1[/mm]
Aber für [mm] y_2 [/mm] habe ich doch nicht - vor der Wurzel! Da habe ich doch
[mm] y_2=\blue{+}\bruch{1}{\wurzel{3}}*-\wurzel{3}=\blue{-}1
[/mm]
oder täusche ich mich?
Warum muss ich das denn in die Abstandsfunktion einsetzen? Ich dachte für Extremstellen muss ich immer in den 2. Ableitungen prüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt?
Wenn ich in die Abstandsfunktion einsetze, dann gelten ja alle x und y Werte und [mm] \lambda [/mm] kann ich auch nicht einsetzen.
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
Hallo, sortieren wir mal alles, Du hattest
[mm] y_1=-\bruch{1}{\wurzel{3}}x
[/mm]
dazu dann
[mm] x_1=\wurzel{3} [/mm] somit [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{3}}*\wurzel{3}=-1 [/mm] ergibt [mm] [\wurzel{3};-1]
[/mm]
[mm] x_2=-\wurzel{3} [/mm] somit [mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{3}}*(-\wurzel{3})=1 [/mm] ergibt [mm] [-\wurzel{3};1]
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{3}{\wurzel{3}}x
[/mm]
dazu dann
[mm] x_3=2 [/mm] somit [mm] y=\bruch{3}{\wurzel{3}}*2=\bruch{6}{\wurzel{3}} [/mm] ergibt [mm] [2;\bruch{6}{\wurzel{3}}]
[/mm]
[mm] x_4=-2 [/mm] somit [mm] y=\bruch{3}{\wurzel{3}}*(-2)=-\bruch{6}{\wurzel{3}} [/mm] ergibt [mm] [-2;-\bruch{6}{\wurzel{3}}]
[/mm]
Jetzt die berechneten Extrempunkte:
[mm] [\wurzel{3};-1]
[/mm]
[mm] [-\wurzel{3};1]
[/mm]
[mm] [2;\bruch{6}{\wurzel{3}}]
[/mm]
[mm] [-2;-\bruch{6}{\wurzel{3}}]
[/mm]
in die Abstansfunktion [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] einsetzen, du bekommst doch sofort den kleinsten Abstand (4) und den größten Abstand (16), fertig ist die Laube
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Achso.....okay, ich habe leider noch kein Beispiel bisher zu solchen Aufgaben gehabt, daher wusste ich nicht, dass ich das in die Abstandsfunktion einfach einsetzen kann.
Aber mit etwas nachdenken über die Aufgabenstellung hätte man echt drauf kommen können ......
Danke für die Erklärungen und Geduld!
MfG
Mathegirl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 10.06.2012 | | Autor: | triad |
Hallo,
> Jetzt die berechneten Extrempunkte:
>
> [mm][\wurzel{3};-1][/mm]
>
> [mm][-\wurzel{3};1][/mm]
>
> [mm][2;\bruch{6}{\wurzel{3}}][/mm]
>
> [mm][-2;-\bruch{6}{\wurzel{3}}][/mm]
>
> in die Abstansfunktion [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm] einsetzen, du
> bekommst doch sofort den kleinsten Abstand (4) und den
> größten Abstand (16), fertig ist die Laube
>
> Steffi
>
da man ja mit dem Quadrat der Abstandsfunktion gerechnet hat, sollte man die Ergebnisse noch radizieren, oder?
Um die Aufgabenstellung exakt zu beantworten, kommen die Punkte [mm] a=(\wurzel{3},-1), b=(-\wurzel{3},1), c=(2,\bruch{6}{\wurzel{3}}) [/mm] und [mm] d=(-2,-\bruch{6}{\wurzel{3}}) [/mm] des Kegelschnitts als Punkte extremalen Abstands vom Ursprung in Frage und die Extremwerte sind ($h(x):=|x|$):
h(a)=2
h(b)=2
h(c)=4
h(d)=4
|
|
|
| |
|
Hallo triad,
> Hallo,
>
> > Jetzt die berechneten Extrempunkte:
> >
> > [mm][\wurzel{3};-1][/mm]
> >
> > [mm][-\wurzel{3};1][/mm]
> >
> > [mm][2;\bruch{6}{\wurzel{3}}][/mm]
> >
> > [mm][-2;-\bruch{6}{\wurzel{3}}][/mm]
> >
> > in die Abstansfunktion [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm] einsetzen, du
> > bekommst doch sofort den kleinsten Abstand (4) und den
> > größten Abstand (16), fertig ist die Laube
> >
> > Steffi
> >
>
> da man ja mit dem Quadrat der Abstandsfunktion gerechnet
> hat, sollte man die Ergebnisse noch radizieren, oder?
>
Ja.
> Um die Aufgabenstellung exakt zu beantworten, kommen die
> Punkte [mm]a=(\wurzel{3},-1), b=(-\wurzel{3},1), c=(2,\bruch{6}{\wurzel{3}})[/mm]
> und [mm]d=(-2,-\bruch{6}{\wurzel{3}})[/mm] des Kegelschnitts als
> Punkte extremalen Abstands vom Ursprung in Frage und die
> Extremwerte sind ([mm]h(x):=|x|[/mm]):
>
> h(a)=2
> h(b)=2
> h(c)=4
> h(d)=4
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 05.06.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Muss es nach dem Satz über den Lagrangeschen Multiplikator nicht heißen:
$ [mm] x^2+y^2-\lambda(13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64)=0 [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Di 05.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo,
i.A,steht da das + wie bei mathegirl, aber - aendert nur das vorzeichen von [mm] \lambda
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mi 06.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gut, dann würde also gelten mit dem Lagrange
> Multiplikator:
>
> [mm]x^2+y^2+\lambda(13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64)=0[/mm]
Quatsch. Wieso =0 ?
FRED
>
> [mm]=x^2+y^2+13\lambda x^2-6\wurzel{3}\lambdaxy+7\lambday^2-64\lambda)=0[/mm]
>
> [mm]f'(x)=2x+26\lambda x-6\wurzel{3}\lambda[/mm] y=0
> [mm]f'(y)=2y-6\wurzel{3}\lambda x+14\lambda[/mm] y=0
> [mm]f'(\lambda)= 13x^2-6\wurzel{3}xy+7y^2-64=0[/mm]
>
> Jetzt muss ich von den 3 ersten Ableitungen die [mm]x,y,\lambda[/mm]
> als mögliche Extremstellen bestimmen.
>
> Allerdings hängt es da etwas am Rechnen und ich weiß
> nicht so recht wie ich die 3 Variablen berechnen kann.
>
>
> MfG
> Mathegirl
|
|
|
|
