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| Aufgabe | Eine Gerade g geht durch den Punkt A (1/2/3) und den Vektor B [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2}.
[/mm]
a) Liegen die Punkte B (-2/-1/9) und C (1/3/4) auf der Geraden?
b) berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D (4/y/Z).
c) In welchem Verhältnis teilt A die Stecke BD? |
Hallo,
ich bräuchte für b) und c) einmal einen Lösungsansatz und für a) falls jemand Lust hat einmal überprüft ob mein Ergebnis richtig ist.
Ich bin folgender Maßen vorgegangen:
Erst die gerade Aufgestellt:
[mm] g=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Den Punkt B eingesetzt:
[mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 9}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
dann:
[mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 6}= r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
wenn ich jetzt für r=3 einsetzte dann komme ich zu dem Ergebnis, dass der Punkt auf der Geraden liegt.
Für den Punkt C
[mm] g=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Punkt einsetzen:
[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 4}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
dann:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}= r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
jetzt kann ich nichts für r= einsetzen, oder täusche ich mich?
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo IceHunter!
Deine Berechnung bisher ist richtig. Beim Punkt $C_$ kannst Du ja auch noch ein Gleichungssystem aufstellen, welches wiedersprüchliche Ergebnisse für $r_$ liefert. Draus folgt dann, dass der Punkt $C_$ nicht auf der Geraden liegt:
$0 \ = \ r*(-1)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $r \ = \ 0$
$1 \ = \ r*(-1)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $r \ = \ -1$
$1 \ = \ r*2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $r \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Um nun die Koordinaten von $D_$ zu ermitteln, setzen wir in die Geradengleichung ein und stellen ebenfalls ein Gleichungssystem auf:
[mm] $\vektor{4\\y\\z} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\3}+r*\vektor{-1\\-1\\2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $4 \ = \ 1+r*(-1)$
Hieraus nun $r \ = \ ...$ ermitteln und in die Geradengleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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Hallo IceHunter!
Zunächst einmal heiße ich dich herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> c) In welchem Verhältnis teilt A die Stecke BD?
Theoretisch könntest du davon ausgehen, dass A die Strecke BD auf jeden Fall teilt. Praktisch sollte man jedoch zunächst prüfen (so würd ich es machen), ob A überhaupt die Strecke BD teilt. D.h. zunächst eine Geradengleichung durch BD aufstellen und dann überprüfen, ob bei der Punktprobe für A für den Parameter r ein Wert zwischen 0 und 1 bzw. 0 und -1 heraus kommt, denn nur dann liegt der Punkt A zwischen B und D.
Dann gehts eigentlich erst richtig los:
Spanne dir erst den Vektor [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] auf. Bestimme dann den Betrag (also die Länge) dieses Vektors.
Spanne dir dann einen Vektor [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] auf und berechne auch dessen Betrag. Du hast nun die Beträge der beiden Strecken [mm] \overline{BD} [/mm] und [mm] \overline{BA}, [/mm] wobei [mm] \overline{BA} [/mm] Teilstrecke von [mm] \overline{BD} [/mm] ist. Nun kannst du das Teilungsverhältnis [mm] \bruch{\overline{BA}}{\overline{BD}-\overline{BA}} [/mm] berechnen.
Beispiel:
Angenommen [mm] \overline{BA} [/mm] ist 1LE lang und [mm] \overline{BD} [/mm] ist 6LE lang, dann teilt Punkt A die Strecke [mm] \overline{BD} [/mm] im Verhältnis [mm] \bruch{1}{6-1}=\bruch{1}{5} [/mm] (eins zu fünf).
Soweit verstanden? Wenn nicht: einfach nachfragen. 
Gruß,
Tommy
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Puuuh...ok, ich habe es mal probiert.
Also zu c)
[mm] \overrightarrow{BD}= -\vec{b}+\vec{d}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{4 \\ 5 \\ -3}
[/mm]
= [mm] \vektor{7 \\ 6 \\ -12}
[/mm]
Dann die Strecke:
[mm] S=\wurzel{7^{2}+6^{2}-12^{2}}
[/mm]
= 40.25...
Dann für [mm] \overrightarrow{BA}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BD}= -\vec{b}+\vec{a}
[/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
= [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -6}
[/mm]
Dann die Strecke:
[mm] S=\wurzel{3^{2}+3^{2}-6^{2}}
[/mm]
= ...
Jetzt kommt nix raus, da das Ergebnis unter der Wurzel negativ ist... Habe ich mich irgendwo verrechnet?...oder ist das was ich gemacht habe überhaubt richtig^^?
Danke für eure schnellen Antworten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 22.04.2007 | | Autor: | IceHunter |
Ah...ok, wie blöd von mir^^
Dann sollte ich jetzt eigentlich alles hin bekommen...
Noch mal ein herzliches Dankeschön!!!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
