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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Do 23.06.2011 | | Autor: | bree_ |
Mir fehlt das mathematische Auge um die AUfgabe zu vereinfachen. Anders komme ich nicht weiter.
Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie alle Punkte der Funktion f: R -> R
f(x) = [mm] \bruch{sin^2 (x)}{(1- a cos(x))^5}
[/mm]
für die Konstante a [mm] \in [/mm] (0,1), die die notwendige Bedingung für Extremalstellen erfüllen.
Ich hab mal abgeleitet, ich hoffe mir ist nicht schon da ein Fehler passiert:
f'(x) = [mm] \bruch{(2 cos (x) sin (x) * (1-a *cos(x))^5 - (sin^2 (x) ) * 5 ( 1-a *cos (x)^4 * (sin (x))}{(1- a *cos (x))^10}
[/mm]
Stimmt die Ableitung? Kann ich da was im Zähler zusammenfassen dass ich noch ein Produkt habe und beide Faktoren einzeln = 0 setzen kann?
Und wann genau muss ich a betrachten?
Danke euch!
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Damit klar wird, dass du mit acos nicht etwa arccos,
also die Umkehrfunktion von cos meinst, solltest du
zwischen a und cos jeweils den Multiplikationspunkt
(bzw. -stern) oder einen Abstand setzen !
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Hallo bree,
> Mir fehlt das mathematische Auge um die AUfgabe zu
> vereinfachen. Anders komme ich nicht weiter.
>
> Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie alle Punkte der Funktion
> f: R -> R
>
> f(x) = [mm]\bruch{sin^2 (x)}{(1- a cos(x))^5}[/mm]
>
> für die Konstante a [mm]\in[/mm] (0,1), die die notwendige
> Bedingung für Extremalstellen erfüllen.
>
> Ich hab mal abgeleitet, ich hoffe mir ist nicht schon da
> ein Fehler passiert:
>
> f'(x) = [mm]\bruch{(2 cos (x) sin (x) * (1-a cos(x))^5 - (sin^2 (x) ) * 5 ( 1-a cos (x)\red{)}^4 * (\red{sin (x)})}{(1- a cos (x))^10}[/mm]
Fast, zum einen hast du die schließende Klammer vergessen, zum anderen ist die innere Ableitung, also die von [mm]-a\cdot{}\cos(x)[/mm] doch [mm]\red{a\cdot{}\sin(x)}[/mm]
Rest ist stimmig!
>
> Stimmt die Ableitung? Kann ich da was im Zähler
> zusammenfassen dass ich noch ein Produkt habe und beide
> Faktoren einzeln = 0 setzen kann?
Zunächst kannst du mal im Zähler [mm](1-a\cdot{}\cos(x))^4[/mm] ausklammern und es wegkürzen. Weiter kannst du, wenn ich das richtig sehe, noch [mm]\sin(x)[/mm] ausklammern ...
Dann fällt die Bestimmung der Nullstellen bestimmt leichter ...
>
> Und wann genau muss ich a betrachten?
Nun, die Nullstellen der 1.Ableitung werden doch sicher von a abhängen ...
>
> Danke euch!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Do 23.06.2011 | | Autor: | bree_ |
Danke, das waren gute Tipps!
Nun hab ich stehen (vorrausgesetzt ich hab alles richtig gemacht)
f'(x) = [mm] \bruch{sin (x) [ 4a *cos^3(x) - 5a*sin^2 (x)] }{(1- a* cos(x))^6}
[/mm]
(oder wäre es besser 4a auch noch auszuklammern?!)
Nun kann man ja sin (x) = 0 setzen , das ist dann [mm] n*\pi [/mm] für n [mm] \in \IZ
[/mm]
Wie man den zweiten Faktor nach 0 auflöst, weiß ich leider nicht, da überlagern sich ja cos und sin irgendwie, oder ?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.wenn du ne nst des Zählers hast, musst du noch den nenner untersuchen!
2. [mm] sin^2=1-cos^2 [/mm] und cosx=z
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Do 23.06.2011 | | Autor: | bree_ |
> Hallo
> 1.wenn du ne nst des Zählers hast, musst du noch den
> nenner untersuchen!
Weiß grad nicht was du mir damit sagen willst.
Wenn ich den Zähler 0 setze ist doch der Nenner egal?! 0 durch irgendwas ergibt doch Null.
> 2. [mm]sin^2=1-cos^2[/mm] und cosx=z
Substituieren? Wo denn?
> gruss leduart
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Hallo bree_,
> > Hallo
> > 1.wenn du ne nst des Zählers hast, musst du noch den
> > nenner untersuchen!
>
> Weiß grad nicht was du mir damit sagen willst.
> Wenn ich den Zähler 0 setze ist doch der Nenner egal?! 0
> durch irgendwas ergibt doch Null.
>
Die Funktion hat nur dann eine Nullstelle [mm]x_{0}[/mm],
wenn der Nenner an dieser Stelle von Null verschieden ist.
> > 2. [mm]sin^2=1-cos^2[/mm] und cosx=z
>
> Substituieren? Wo denn?
>
>
Die Ableitung
[mm] f'(x) = \bruch{sin (x) [ 4a \cdot{}cos^3(x) - 5a\cdot{}sin^2 (x)] }{(1- a\cdot{} cos(x))^6} [/mm]
stimmt nicht.
Insbesondere der Faktor
[mm][ 4a \cdot{}cos^3(x) - 5a\cdot{}sin^2 (x)][/mm]
> > gruss leduart
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
0/0 es ist nicht egal ob der Nenner 0 ist. Wenn 0/0 entsteht musst du genauer untersuchen.
2. wenn du den sin durch cos ersetzt hast du nur noch cos Terme.
3. wenn man keine nst finden kann, du musst sie ja nicht genau finden, dann untersuchen wo die fkt pos und negativ ist, dazwischen liegen Nst.
Gruss leduart
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