Punkte im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A=(0; 0;-4), B=(3; 0; 1) und C=(-3; 0; 5).
Berechnen Sie
a) die Mittelpunkte [mm] S_A; S_B; S_C [/mm] der den Punkten A, B bzw. C gegenüberliegenden Seiten,
b) die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, d.h. der Geraden durch A und [mm] S_A [/mm] etc., sowie
c) den Schwerpunkt [mm] S=\bruch{1}{3}(A+B+C)
[/mm]
und erläutern Sie,
d) warum der Schwerpunkt diese Bezeichnung trägt. |
a)
gegeben ist foglendes Dreieck
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] S_A=C+\bruch{1}{2}\overrightarrow{CB}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5}+\bruch{1}{2}\vektor{3-(-3) \\ 0-0 \\ 1-5}=\vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] S_B=A+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AC}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+\bruch{1}{2}\vektor{-3-0) \\ 0-0 \\ 5-(-4)}=\vektor{-1,5 \\ 0 \\ 0,5}
[/mm]
[mm] S_C=A+\bruch{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+\bruch{1}{2}\vektor{3-0) \\ 0-0 \\ 1-(-4)}=\vektor{1,5 \\ 0 \\ -1,5}
[/mm]
stimmt die Lösung?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ja, die Mittelpunkte der Seiten stimmen.
LG Angela
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Die Seitenhalbierenden sind:
[mm] g_A: A+k*\overrightarrow{AS_A}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0-0 \\ 0-0 \\ 3-(-4)}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7} [/mm] mit [mm] k\in\IR
[/mm]
[mm] g_B: B+t*\overrightarrow{BS_B}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-1,5-3 \\ 0-0 \\ 0,5-1}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5} [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
[mm] g_C: C+\lambda*\overrightarrow{CS_C}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5}+\lambda*\vektor{1,5-(-3) \\ 0-0 \\ -1,5-5}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5}+\lambda*\vektor{4,5 \\ 0 \\ -6,5} [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR
[/mm]
Schnittpunkt der Geraden [mm] g_A [/mm] und [mm] g_B:
[/mm]
[mm] g_A=g_B
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}
[/mm]
[mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ -5}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
-3=-t*4,5
-4+k*7=-0,5*t
[mm] \Rightarrow t=k=\bruch{2}{3}
[/mm]
Wenn man nun die berechneten Faktoren [mm] t=k=\bruch{2}{3} [/mm] in der Geradengleichung einsetzt, sollte man einen gemeinsamen Punkt bekommen. Das ist der Schnittpunkt der Geraden:
[mm] g_A: \vektor{0 \\ 0 \\ -4}+\bruch{2}{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] g_B: \vektor{3 \\ 0 \\ 1}+\bruch{2}{3}*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}=\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
Der Schnittpunkt ist: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
Da alle Seitenhalbierenden sich am selben Punkt schneiden, ist der Schnittpunkt der Geraaden [mm] g_A [/mm] und [mm] g_C [/mm] und der Schnittpunkt der Geraden [mm] g_B [/mm] und [mm] g_C [/mm] ebenfalls [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
kann ich das so begründen?
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> Die Seitenhalbierenden sind:
>
> [mm]g_A: A+k*\overrightarrow{AS_A}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0-0 \\ 0-0 \\ 3-(-4)}=\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}[/mm]
> mit [mm]k\in\IR[/mm]
>
> [mm]g_B: B+t*\overrightarrow{BS_B}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-1,5-3 \\ 0-0 \\ 0,5-1}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}[/mm]
> mit [mm]t\in\IR[/mm]
>
> [mm]g_C: C+\lambda*\overrightarrow{CS_C}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5}+\lambda*\vektor{1,5-(-3) \\ 0-0 \\ -1,5-5}=\vektor{-3 \\ 0 \\ 5}+\lambda*\vektor{4,5 \\ 0 \\ -6,5}[/mm]
> mit [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> Schnittpunkt der Geraden [mm]g_A[/mm] und [mm]g_B:[/mm]
>
> [mm]g_A=g_B[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -4}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=\vektor{3 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ -5}+k*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=t*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> -3=-t*4,5
>
> -4+k*7=-0,5*t
>
> [mm]\Rightarrow t=k=\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Wenn man nun die berechneten Faktoren [mm]t=k=\bruch{2}{3}[/mm] in
> der Geradengleichung einsetzt, sollte man einen gemeinsamen
> Punkt bekommen. Das ist der Schnittpunkt der Geraden:
>
>
> [mm]g_A: \vektor{0 \\ 0 \\ -4}+\bruch{2}{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 7}=\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
>
> [mm]g_B: \vektor{3 \\ 0 \\ 1}+\bruch{2}{3}*\vektor{-4,5 \\ 0 \\ -0,5}=\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
>
> Der Schnittpunkt ist: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
>
> Da alle Seitenhalbierenden sich am selben Punkt schneiden,
> ist der Schnittpunkt der Geraaden [mm]g_A[/mm] und [mm]g_C[/mm] und der
> Schnittpunkt der Geraden [mm]g_B[/mm] und [mm]g_C[/mm] ebenfalls [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{2}{3}}[/mm]
>
> kann ich das so begründen?
Hallo,
also ich würde durchaus vorrechnen, daß sie sich wirklich in einem Punkt schneiden - ist dann ja auch eine Kontrolle für Dich.
LG Angela
>
>
>
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c)
Der Schwerpunkt entspricht dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
[mm] S=\bruch{1}{3}(A+B+C)=(0;0;\bruch{2}{3})
[/mm]
d)
Der Schwerpunkt hat diese bezeichnung, weil der Schwerpunkt der Punkt ist, wo sich das gesamte Gewicht konzentriert.
Kann man das so sagen?
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Hallo!
> c)
>
> Der Schwerpunkt entspricht dem Schnittpunkt der
> Seitenhalbierenden
>
> [mm]S=\bruch{1}{3}(A+B+C)=(0;0;\bruch{2}{3})[/mm]
Ja.
> d)
>
> Der Schwerpunkt hat diese bezeichnung, weil der Schwerpunkt
> der Punkt ist, wo sich das gesamte Gewicht konzentriert.
>
> Kann man das so sagen?
Nein. Beim Sonnensystem würde man sagen, daß das gesamte Gewicht sich in der Sonne konzentriert, weil das Gewicht der Planeten fast schon vernachlässigbar ist, und die Sonne eben die größte Masse darstellt.
Aber bei einem Dreieck ist die Masse, wenn man so will, doch ziemlich gleich verteilt, und konzentriert sich nirgends.
Die Seitenhalbierenden sind Schwerelinien des Dreiecks, das heißt, man könnte das Dreieck mit jeder seiner Seitenhalbierenden auf eine horizontale Grade legen, und es würde nicht umkippen und herunter fallen. Daher könnte man das Dreieck auch mit dem Schnittpunkt aller Seitenhalbierenden auf einem Punkt balancieren.
Um einzusehen, daß eine Seitenhalbierende auch eine Schwerelinie ist, kann man das Dreieck in unendlich viele, gleich breite Streifen parallel zur Seitenhalbierenden schneiden. Zu jedem Streifen auf der einen Seite gibt es dann einen Streifen auf der anderen Seite, der gleich lang (und damit gleich schwer), und gleich weit von der Seitenhalbierenden entfernt ist. Die Streifen bilden also Gegengewichte, und halten sich in der Waage.
Aber... warum ist das so, daß man zu jedem Streifen einen Gegenstreifen findet?
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Hallo,
> Nein. Beim Sonnensystem würde man sagen, daß das gesamte
> Gewicht sich in der Sonne konzentriert, weil das Gewicht
> der Planeten fast schon vernachlässigbar ist, und die
> Sonne eben die größte Masse darstellt.
Okay das verstehe ich
> Aber bei einem Dreieck ist die Masse, wenn man so will,
> doch ziemlich gleich verteilt, und konzentriert sich
> nirgends.
das verstehe ich auch
> Die Seitenhalbierenden sind Schwerelinien des Dreiecks, das
> heißt, man könnte das Dreieck mit jeder seiner
> Seitenhalbierenden auf eine horizontale Grade legen, und es
> würde nicht umkippen und herunter fallen. Daher könnte
> man das Dreieck auch mit dem Schnittpunkt aller
> Seitenhalbierenden auf einem Punkt balancieren.
Was sind Schwerelinien? Beim Dreieck sind die Seitenhalbierneden die Schwerelinien, aber wie kann man Schwerelinien allgemein definieren?
> Um einzusehen, daß eine Seitenhalbierende auch eine
> Schwerelinie ist, kann man das Dreieck in unendlich viele,
> gleich breite Streifen parallel zur Seitenhalbierenden
> schneiden. Zu jedem Streifen auf der einen Seite gibt es
> dann einen Streifen auf der anderen Seite, der gleich lang
> (und damit gleich schwer), und gleich weit von der
> Seitenhalbierenden entfernt ist. Die Streifen bilden also
> Gegengewichte, und halten sich in der Waage.
>
> Aber... warum ist das so, daß man zu jedem Streifen einen
> Gegenstreifen findet?
Hier kann ich dir nicht mehr folgen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mo 25.04.2016 | | Autor: | chrisno |
> ....
> > Die Seitenhalbierenden sind Schwerelinien des Dreiecks, das
> > heißt, man könnte das Dreieck mit jeder seiner
> > Seitenhalbierenden auf eine horizontale Grade legen, und es
> > würde nicht umkippen und herunter fallen. Daher könnte
> > man das Dreieck auch mit dem Schnittpunkt aller
> > Seitenhalbierenden auf einem Punkt balancieren.
>
> Was sind Schwerelinien? Beim Dreieck sind die
> Seitenhalbierneden die Schwerelinien, aber wie kann man
> Schwerelinien allgemein definieren?
Mach es doch selbst:
Die Seitenhalbierenden sind Schwerelinien des Dreiecks einer ebenen Figur, das
heißt, man könnte das Dreieck mit jeder seiner Seitenhalbierenden Schwerelinien auf eine horizontale Grade legen, und es sie würde nicht umkippen und herunter fallen.
Ist das so schwer?
>
> > Um einzusehen, daß eine Seitenhalbierende auch eine
> > Schwerelinie ist, kann man das Dreieck in unendlich viele,
> > gleich breite Streifen parallel zur Seitenhalbierenden
> > schneiden. Zu jedem Streifen auf der einen Seite gibt es
> > dann einen Streifen auf der anderen Seite, der gleich lang
> > (und damit gleich schwer), und gleich weit von der
> > Seitenhalbierenden entfernt ist. Die Streifen bilden also
> > Gegengewichte, und halten sich in der Waage.
> >
> > Aber... warum ist das so, daß man zu jedem Streifen einen
> > Gegenstreifen findet?
>
> Hier kann ich dir nicht mehr folgen.
Dann zeichne Dir erst einmal auf, was da beschrieben wird. Das richtige Verstehen entsteht aus dem eigenen Bemühen.
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Hallo,
> Ist das so schwer?
Ja weil ich mit der Definition "Die Schwerelinie ist eine Linie, die eine ebene Figur balanciert" nicht wirklich was anfangen kann.
Ich finde den begriff Schwerpunkt auch nicht einfach zu verstehen
Ich weiß nicht was zu aufgabe d) jetzt schreiben soll
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 25.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du eine Waage hast, die im Gleichgewicht ist und sie da festmachst wirkt das gesamte Gewicht.
Wenn du auf die 3 Ecken des Dreiecks 3 gleiche Massen bzw . gewichte legst, kannst du das Dreieck nur "balancieren", wenn du es im Schwerpunkt unterstützt, dort wirkt dann das Gesmtgewicht, wenn du in einem anderen Punkt unterstützt dreht sich das Dreieck und fällt runter. wenn du unter eine "Schwertlilie eines Kartondreiecks z.b. ein Lineal scharfe Kante legst, zieht die eine Seite so stark wie die andere, das Dreieck kippt nicht, es ist in Balance wenn du es irgendwo anders auf das Lineal legst kippt es runter.
Das Hebelgesetz kennst du sicher , mit dem Dreieck hast du nicht nur einen 2 seitigen Hebel, sondern einen 3 zeitigen, wenn du an die Gewichte an den Ecken denkst, wenn du eher an die Fläche denkst entspricht das in einer Dimnsion weniger einem Balken, den du auch in der Mitte tragen wirst, wenn er nicht kippen soll ,
gruß leduart
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> Hallo
> wenn du eine Waage hast, die im Gleichgewicht ist und sie
> da festmachst wirkt das gesamte Gewicht.
> Wenn du auf die 3 Ecken des Dreiecks 3 gleiche Massen bzw
> . gewichte legst, kannst du das Dreieck nur "balancieren",
> wenn du es im Schwerpunkt unterstützt, dort wirkt dann das
> Gesmtgewicht, wenn du in einem anderen Punkt unterstützt
> dreht sich das Dreieck und fällt runter. wenn du unter
> eine "Schwertlilie eines Kartondreiecks z.b. ein Lineal
> scharfe Kante legst, zieht die eine Seite so stark wie die
> andere, das Dreieck kippt nicht, es ist in Balance wenn du
> es irgendwo anders auf das Lineal legst kippt es runter.
> Das Hebelgesetz kennst du sicher , mit dem Dreieck hast du
> nicht nur einen 2 seitigen Hebel, sondern einen 3 zeitigen,
> wenn du an die Gewichte an den Ecken denkst, wenn du eher
> an die Fläche denkst entspricht das in einer Dimnsion
> weniger einem Balken, den du auch in der Mitte tragen
> wirst, wenn er nicht kippen soll ,
> gruß leduart
Hallo Leduart,
dass du uns hier so nebenbei mit "Schwertlilien" beglückst,
ist vielleicht so etwas wie eine "Freudsche Fehlleistung" - aber
wenn schon, dann doch eine ganz freudige und erfrischende !
Ich will aber noch auf etwas anderes hinweisen, das wohl
nur recht wenigen bekannt sein dürfte:
Beim Dreieck spielt es tatsächlich keine Rolle, ob wir vom
Schwerpunkt eines aus (gaaanz dünner) Pappe ausgeschnittenen
Dreiecks sprechen, das homogen mit Masse belegt ist, oder
aber vom Schwerpunkt des Massensystems, das aus drei
gleich großen (Punkt-) Massen besteht, die sich an den
drei Eckpunkten des Dreiecks befinden.
Das stimmt (erstaunlicherweise !) beim Dreieck: es sei
allen Interessierten empfohlen, sich durch Nachrechnen
davon zu überzeugen.
Beim allgemeinen Viereck stimmt dies aber im Allgemeinen
schon gar nicht mehr ! Gegenbeispiele sollten ganz leicht
zu finden sein.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 25.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Nimm ein Lineal. Versuche darauf ein Buch zu balancieren. Wenn es klappt, dann liegt das Buch auf einer seiner Schwerelinien. Du wirst mehrere davon bei dem einen Buch finden, Du musst es nur ein wenig drehen. Nimm das Lineal und etwas anderes, eine Computertastatur, eine Gabel, .....
Immer wenn das Blancieren gelingt ...
zu d) Zeichne auf dem Buch von eben die Schwerelinien ein. Es gibt einen Punkt, in dem sie sich schneiden. Nimm einen Bleistift und versuche das Buch auf dessen Spitze zu balancieren. Du wirst feststellen, das es genau eine Punkt gibt, an dem das gelingt. ....
Für den Schwerpunktsbegriff selbst ist nun etwas Physik nötig. Wenn auf einen Körper in diesem Punkt eine Kraft angreifen lässt, dann wird der Körper durch diese Kraft nicht gedreht, sondern nur geradeaus beschleunigt. Der Effekt ist also für alle Körper mit der gleichen Masse der Gleiche. Man kann also für die weiteren Betrachtungen so tun, als ob sich die ganze Nasse der Körper in diesem einen Punkt befindet, dem ....
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:12 Mo 25.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz :
Um einzusehen, daß eine Seitenhalbierende auch eine Schwerelinie ist, kann man das Dreieck in unendlich viele, gleich breite Streifen parallel zur Seitenhalbierenden schneiden. Zu jedem Streifen auf der einen Seite gibt es dann einen Streifen auf der anderen Seite, der gleich lang (und damit gleich schwer), und gleich weit von der Seitenhalbierenden entfernt ist.
ist so wohl falsch siehe meine Skizze.
(das ändert nichts daran ,dass es die Schwerelinie ist)
wenn man die Parallelen zu der Seite auf der die Halbierende endet macht ist der Satz richtig, also muss man nur parallel zur Seitenlinie durch parallel zur Seite ersetzen.
Gruß leduart
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Leduart!
Ich kann keinen Fehler in meiner Argumentation entdecken, und habe auch mal eine Geogebra-Konstruktion erstellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man das Dreieck in unendlich viele Streifen schneidet, werden die Streifen auch unendlich dünn, so wie die violetten Strecken. Und die sind bei gleichem Abstand zur Seitenhalbierenden immer gleich lang.
Selbst, wenn man die Streifen nicht unendlich dünn macht, bleibt die Fläche zweier Streifen, deren Schnittlinien die gleichen Abstände zur Seitenhalbierenden haben, stets gleich. Allerdings fällt es schwer, für die Streifen dann eine Länge anzugeben. Vielleicht meintest du das?
Hier auch nochmal das Geogebra-Blatt:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Link zum 2. Dateianhang
Die großen blauen Punkte sind zum Bewegen da.
(Zugegen, die stets gleichen Zahlenwerte sind kein Beweis, aber doch ziemlich überzeugend.)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: ggb) [nicht öffentlich]
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> Um einzusehen, daß eine Seitenhalbierende auch eine
> Schwerelinie ist, kann man das Dreieck in unendlich viele,
> gleich breite Streifen parallel zur Seitenhalbierenden
> schneiden.
Naja, das ist doch ein wenig problematisch, wenn man die
übliche Auffassung der (reellen) Zahlen zugrundelegt.
Alle solchen "gleich breiten" Streifen sollten eine bestimmte
Breite haben, die wir mit b bezeichnen können.
Wäre nun b positiv, so würde daraus sofort folgen, dass das
Dreieck unendlich ausgedehnt sein müsste.
Mit b=0 kommen wir aber zu Fragen der Art [mm] $\infty\ [/mm] *\ 0\ =\ ?$
Um diese Schwierigkeit zu umschiffen, kommt man
eigentlich kaum um den Einsatz der traditionellen
Methoden der Grenzwertrechnung (oder eines anderen,
gleich effizienten Mittels) herum ...
LG , Al-Chw.
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Schwerpunkt bezeichnet den punkt eines Körpers oder einer fläche bei der sie sich im Gleichgewicht befindet.
Ist das die Antwort zu aufgabe d)? Ich soll ja erklären warum der schwerpunkt schwerpunkt heißt.
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Hallo, bei Arndt Brünner findest Du eine schöne Erklärung:
![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Do 28.04.2016 | | Autor: | chrisno |
Also ich würde dem Text einen von fünf möglichen Punkten geben, nach dem Motto: ein Ansatz ist erkennbar. Es fehlt das Wort unterstützen. Dann sollte die Bedingung "im Gleichgewicht befinden" mit der Mathematik in Verbindung gebracht werden. Da steckt für mein Empfinden das Hebelgesetz drin.
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